Bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn

\(\left[\left(\dfrac{1}{a^2+1}\right).\dfrac{1}{a^2+2a+1}+\dfrac{2}{\left(a+1\right)^3}.\left(\dfrac{1}{a}+1\right)\right]:\dfrac{a-1}{a^3}\)

\(=\left(\dfrac{1}{\left(a^2+1\right)\left(a^2+2a+1\right)}+\dfrac{2}{\left(a+1\right)^3}\cdot\dfrac{1+a}{a}\right)\cdot\dfrac{a^3}{a-1}\)

\(=\left(\dfrac{1}{\left(a^2+1\right)\left(a+1\right)^2}+\dfrac{2}{a\left(a+1\right)^2}\right)\cdot\dfrac{a^3}{a-1}\)

\(=\dfrac{a+2\left(a^2+1\right)}{a\left(a^2+1\right)\left(a+1\right)^2}\cdot\dfrac{a^3}{a-1}\)

\(=\dfrac{a+2a^2+2}{\left(a^2+1\right)\left(a+1\right)^2}\cdot\dfrac{a^2}{a-1}\)

\(=\dfrac{a^2\left(a+2a^2+2\right)}{\left(a^2+1\right)\left(a+1\right)^2\cdot\left(a-1\right)}\)

\(=\dfrac{a^3+2a^4+2a^2}{\left(a^3-a^2+a-1\right)\left(a+1\right)^2}\)

a, Gọi 2 số nguyên là a, b

Ta có: \(a+b⋮3\)

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)⋮3\)

\(\Leftrightarrowđpcm\)

b, \(E=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+6\right)\)

\(=\left(x^2+5x-6\right)\left(x^2+5x+6\right)\)

\(=\left(x^2+5x\right)^2-36\ge-36\)

Dấu " = " khi \(\left(x^2+5x\right)^2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-5\end{matrix}\right.\)

Vậy \(MIN_E=-36\) khi x = 0 hoặc x = -5

Đặt \(\sqrt{x^2+9}=a\) ( \(a\ge9\) ) => \(x^2+9=a^2\)

Đặt \(3x+5=b\) => \(2x+3=\dfrac{2}{3}a-\dfrac{1}{3}\)

Ta có; \(2\left(3x+5\right)\sqrt{x^2+9}=3x^2+2x+30\)

<=> \(2ab=3a^2+\left(\dfrac{2}{3}b-\dfrac{1}{3}\right)\)

<=> \(6ab=9a^2+2b-1\)

<=> \(\left(9a^2-1\right)-\left(6ab-2b\right)=0\)

<=> \(\left(3a-1\right)\left(3a+1\right)-2b\left(3a-1\right)=0\)

<=> \(\left(3a-1\right)\left(3a+1-2b\right)=0\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}3a=1\left(1\right)\\3a-2b=-1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

(1) => \(3\sqrt{x^2+9}=1\) => Vô nghiệm ( vì \(\sqrt{x^2+9}\ge9\) )

(2) => \(3\sqrt{x^2+9}-2\left(3x+5\right)=-1\)

=> \(x=0\) (TM)

P/s: Mk nghĩ vì bn khá giỏi nên mk sẽ lm hơi tắt!

\(2\left(3x+5\right)\sqrt{x^2+9}=3x^2+2x+30\)

\(\Leftrightarrow2\left(3x+5\right)\sqrt{x^2+9}-30=3x^2+2x\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4\left(3x+5\right)^2\left(x^2+9\right)-900}{2\left(3x+5\right)\sqrt{x^2+9}+30}=x\left(3x+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{36x^4+120x^3+424x^2+1080x}{2\left(3x+5\right)\sqrt{x^2+9}+30}-x\left(3x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4x\left(9x^3+30x^2+106x+270\right)}{2\left(3x+5\right)\sqrt{x^2+9}+30}-x\left(3x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(\dfrac{4\left(9x^3+30x^2+106x+270\right)}{2\left(3x+5\right)\sqrt{x^2+9}+30}-\left(3x+2\right)\right)=0\)

Dễ thấy: \(\dfrac{4\left(9x^3+30x^2+106x+270\right)}{2\left(3x+5\right)\sqrt{x^2+9}+30}-\left(3x+2\right)>0\)

\(\Rightarrow x=0\)

\(x^2+\left(3-\sqrt{x^2+2}\right)x=1+2\sqrt{x^2+2}\)

\(pt\Leftrightarrow x^2+3x-1-x\sqrt{x^2+2}=2\sqrt{x^2+2}\)

\(\Leftrightarrow x^2-7-\left(x\sqrt{x^2+2}-3x\right)=2\sqrt{x^2+2}-6\)

\(\Leftrightarrow x^2-7-\dfrac{x^2\left(x^2+2\right)-9x^2}{x\sqrt{x^2+2}+3x}=\dfrac{4\left(x^2+2\right)-36}{2\sqrt{x^2+2}+6}\)

\(\Leftrightarrow x^2-7-\dfrac{x^4-7x^2}{x\sqrt{x^2+2}+3x}-\dfrac{4x^2-28}{2\sqrt{x^2+2}+6}=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-7-\dfrac{x^2\left(x^2-7\right)}{x\sqrt{x^2+2}+3x}-\dfrac{4\left(x^2-7\right)}{2\sqrt{x^2+2}+6}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-7\right)\left(1-\dfrac{x^2}{x\sqrt{x^2+2}+3x}-\dfrac{4}{2\sqrt{x^2+2}+6}\right)=0\)

Dễ thấy: \(1-\dfrac{x^2}{x\sqrt{x^2+2}+3x}-\dfrac{4}{2\sqrt{x^2+2}+6}>0\)

\(\Rightarrow x^2-7=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{7}\)

x²+(m+2)x+\(\dfrac{1}{2}m^2\) +m -2 =0

đen ta = (m+2)² -4.( \(\dfrac{1}{2}m^2+m\) - 2) = m² + 4m + 4 - 2m² - 4m + 8

= -m² + 12 . Đề sai rồi bạn .

ai giup mik vs

<=>x²-25=y²+6y

<=>y²+6y-(x²-25)=0(1) . để phương trình có nghiệm nguyên thì đen ta phải là số chính phương .

đen ta phẩy = 9+x²-25 =x²-16 = n² ( n\(\in\)z )

<=>x²-n²=16<=>(x-n)(x+n)= 16 (*).Do (x-n) + (x+n) = 2x là số chẵn nên (x+n) và(x-n) phải cùn tính chẵn lẽ .từ (*) ta suy ra :(x+n) và (x-n) phải cùng tính chẵn .Mà x-n nhỏ hơn hoặc bằng x+n nên :

\(\left\{{}\begin{matrix}x-n=2\\x+n=8\end{matrix}\right.;\left\{{}\begin{matrix}x-n=4\\x+n=4\end{matrix}\right.\)

+ Nếu \(\left\{{}\begin{matrix}x-n=2\\x+n=8\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}n=3\\x=5\end{matrix}\right.\)thay x=5 vào phương trình (1) ta đc: y²+ 6y =0 => y=o hoặc y=-6 .

+Nếu cái thứ 2 tương tự . mk ngại vt dài quá .

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+\dfrac{1}{y}\right)^2-\dfrac{2x}{y}+\dfrac{x}{y}=3\left(1\right)\\x+\dfrac{1}{y}+\dfrac{x}{y}=3\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

cộng vế với vế của (1) và (2) ta được :

(x+\(\dfrac{1}{y}\))² +( 1+\(\dfrac{1}{y}\)) = 6

(x +\(\dfrac{1}{y}\))² +(1+\(\dfrac{1}{y}\)) - 6 = 0

đặt t =x +\(\dfrac{1}{y}\) rồi giải phương trình bậc 2 theo t . tìm ra t thế x theo y vào hệ đã cho ta tìm được x và y .< trước khi làm bài này phải có ĐK y#0>

a) tự làm

b) kq câu a) => pt luôn có 2 nghiệm--> áp viets ta có

\(A=\dfrac{-4}{x^2_1+x^2_2-6x_1.x_2}=\dfrac{-4}{\left(x_1+x_2\right)^2-8x_1x_2}=\dfrac{-4}{4\left(m+1\right)^2-8\left(3m-5\right)}\)\(A=\dfrac{-4}{4\left(m+1\right)^2-8\left(3m-5\right)}=\dfrac{-1}{\left(m^2+2m+1\right)-6m+10}\)\(A=\dfrac{-1}{\left(m-2\right)^2+7}\)

\(\left(m-2\right)^2+7\ge7\Rightarrow\dfrac{1}{\left(m-2\right)^2+7}\le\dfrac{1}{7}\)

\(A\ge\dfrac{-1}{7}\)