Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x+1}\), trục tung, trục hoành và đường thẳng x = 2. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành bằng
A. 6π. B. 2π. C. 3π. D. 4π.
Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x+1}\), trục tung, trục hoành và đường thẳng x = 2. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành bằng
A. 6π. B. 2π. C. 3π. D. 4π.
Cho hàm số y = f(x). Đồ thị của đạo hàm y = f'(x) là đường cong trong Hình 2. Biết rằng diện tích của các phần hình phẳng A và B lần lượt là SA = 2 và SB = 3. Nếu f(0) = 4 thì f(5) bằng
A. 3. B. 5. C. 9. D. −1.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiHình phẳng \(A\) được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\), trục hoành (\(y = 0\)), trục tung (\(x = 0\)) và đường thẳng \(x = 2\) nên diện tích hình phẳng \(A\) là
\({S_A} = \int\limits_0^2 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_0^2 {f'\left( x \right)dx} = \left. {f\left( x \right)} \right|_0^2 = f\left( 2 \right) - f\left( 0 \right)\)
Suy ra \(f\left( 2 \right) = {S_A} + f\left( 0 \right) = 2 + 4 = 6\)
Hình phẳng \(B\) được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\), trục hoành và các đường thẳng \(x = 2\), \(x = 5\) nên diện tích hình phẳng \(B\) là
\({S_B} = \int\limits_2^5 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx} = - \int\limits_2^5 {f'\left( x \right)dx} = \left. { - f\left( x \right)} \right|_2^5 = - f\left( 5 \right) + f\left( 2 \right)\)
Do đó \(f\left( 5 \right) = - \left( {{S_B} - f\left( 2 \right)} \right) = - \left( {3 - 6} \right) = 3\)
Đáp án đúng là A.
(Trả lời bởi datcoder)
Tìm:
a) \(\int\left[4\left(2-3x\right)^2-3\cos x\right]dx;\)
b) \(\int\left(3x^3-\dfrac{1}{2x^3}\right)dx;\)
c) \(\int\left(\dfrac{2}{\sin^2x}-\dfrac{1}{3\cos^2x}\right)dx;\)
d) \(\int\left(3^{2x-2}+4\cos x\right)dx;\)
e) \(\int\left(4\sqrt[5]{x^4}+\dfrac{3}{\sqrt{x^3}}\right)dx;\)
g) \(\int\left(\sin\dfrac{x}{2}-\cos\dfrac{x}{2}\right)^2dx\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\int {\left[ {4{{\left( {2 - 3x} \right)}^2} - 3\cos x} \right]dx} = 4\int {{{\left( {2 - 3x} \right)}^2}dx} - 3\int {\cos xdx} = 4\int {\left( {9{x^2} - 12x + 4} \right)dx} - 3\int {\cos xdx} \)
\( = 4\left( {3{x^3} - 6{x^2} + 4x} \right) - 3\sin x + C = 12{x^3} - 24{x^2} + 16x - 3\sin x + C\)
b) \(\int {\left( {3{x^3} - \frac{1}{{2{x^3}}}} \right)dx} = \int {\left( {3{x^3} - \frac{1}{2}{x^{ - 3}}} \right)dx} = \frac{{3{x^4}}}{4} - \frac{1}{2}.\frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C = \frac{{3{x^4}}}{4} + \frac{1}{{4{x^2}}} + C\)
c) \(\int {\left( {\frac{2}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{1}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx} = 2\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} - \frac{1}{3}\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = 2.\left( { - \cot x} \right) - \frac{1}{3}.\tan x + C} \)
d) \(\int {\left( {{3^{2x - 2}} + 4\cos x} \right)dx} = \int {\frac{{{3^{2x}}}}{{{3^2}}}dx} + 4\int {\cos xdx} = \frac{1}{9}\int {{9^x}dx} + 4\int {\cos xdx} \)
\( = \frac{1}{9}.\frac{{{9^x}}}{{\ln 9}} + 4\sin x + C = \frac{{{9^{x - 1}}}}{{\ln 9}} + 4\sin x + C\)
e) \(\int {\left( {4\sqrt[5]{{{x^4}}} + \frac{3}{{\sqrt {{x^3}} }}} \right)dx} = \int {\left( {4{x^{\frac{4}{5}}} + \frac{3}{{{x^{\frac{3}{2}}}}}} \right)dx} = \int {4{x^{\frac{4}{5}}}dx} + \int {3{x^{\frac{{ - 3}}{2}}}dx} = \frac{{4{x^{\frac{1}{5}}}}}{{\frac{1}{5}}} + \frac{{3{x^{\frac{{ - 1}}{2}}}}}{{ - \frac{1}{2}}} + C\)
\( = 20\sqrt[5]{x} - \frac{6}{{{x^{\frac{1}{2}}}}} + C = 20\sqrt[5]{x} - \frac{6}{{\sqrt x }} + C\)
g) \(\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}dx} = \int {\left( {{{\sin }^2}\frac{x}{2} + {{\cos }^2}\frac{x}{2} - 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}} \right)dx = \int {\left[ {1 - \sin \left( {2.\frac{x}{2}} \right)} \right]dx} } \)
\( = \int {\left( {1 - \sin x} \right)dx} = x - \left( { - \cos x} \right) + C = x + \cos x + C\)
(Trả lời bởi datcoder)
Tính đạo hàm của \(F\left(x\right)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\). Từ đó suy ra nguyên hàm của \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có \(F'\left( x \right) = \left[ {\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)} \right]' = \frac{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)'}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{1 + \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}\)
\( = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}}{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right).\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = f\left( x \right)\)
Như vậy \(F\left( x \right) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).
Do đó \(\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C \Rightarrow \int {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + C\)
(Trả lời bởi datcoder)
Cho f(x) = x2 lnx và g(x) = xlnx. Tính f'(x) và \(\int g\left(x\right)dx\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có \(f'\left( x \right) = \left( {{x^2}\ln x} \right)' = 2x\ln x + {x^2}.\frac{1}{x} = 2x\ln x + x = 2g\left( x \right) + x\)
Suy ra \(g\left( x \right) = \frac{1}{2}\left[ {f'\left( x \right) - x} \right] \Rightarrow \int {g\left( x \right)dx} = \frac{1}{2}\int {\left[ {f'\left( x \right) - x} \right]dx} = \frac{1}{2}\left[ {f\left( x \right) - \frac{{{x^2}}}{2}} \right] + C\), tức là \(\int {x\ln xdx} = \frac{1}{2}\left( {{x^2}\ln x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right) + C\)
(Trả lời bởi datcoder)
Tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits^1_0\left(4x^3+x\right)dx;\) b) \(\int\limits^2_1\dfrac{x-2}{x^2}dx;\)
c) \(\int\limits^4_02^{2x}dx;\) d) \(\int\limits^2_1\left(e^{x-1}+2^{x+1}\right)dx\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\int\limits_0^1 {\left( {4{x^3} + x} \right)dx} = \left. {\left( {{x^4} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 = \frac{3}{2} - 0 = \frac{3}{2}\)
b) \(\int\limits_1^2 {\frac{{x - 2}}{{{x^2}}}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)dx} = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{x} - 2{x^{ - 2}}} \right)dx} = \left. {\left( {\ln \left| x \right| - 2\frac{{{x^{ - 1}}}}{{ - 1}}} \right)} \right|_1^2\)
\( = \left. {\left( {\ln \left| x \right| + \frac{2}{x}} \right)} \right|_1^2 = \left( {\ln 2 + 1} \right) - \left( {\ln 1 + 2} \right) = \ln 2 - 1\)
c) \(\int\limits_0^4 {{2^{2x}}dx} = \int\limits_0^4 {{4^x}dx} = \left. {\left( {\frac{{{4^x}}}{{\ln 4}}} \right)} \right|_0^4 = \frac{{{4^4}}}{{\ln 4}} - \frac{{{4^0}}}{{\ln 4}} = \frac{{255}}{{\ln 4}}\)
d) \(\int\limits_1^2 {\left( {{e^{x - 1}} + {2^{x + 1}}} \right)dx} = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{{{e^x}}}{e} + {2^x}.2} \right)dx} = \frac{1}{e}\int\limits_1^2 {{e^x}dx} + 2\int\limits_1^2 {{2^x}dx} \)
\( = \frac{1}{e}.\left. {\left( {{e^x}} \right)} \right|_1^2 + 2.\left. {\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right)} \right|_1^2 = \frac{1}{e}\left( {{e^2} - {e^1}} \right) + 2.\left( {\frac{{{2^2}}}{{\ln 2}} - \frac{{{2^1}}}{{\ln 2}}} \right) = e - 1 + 2.\frac{3}{{\ln 2}} = e - 1 + \frac{6}{{\ln 2}}\)
(Trả lời bởi datcoder)
Tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_{\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{1}{\sin^2x}dx;\) b) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\left(1+\tan x\right)\cos xdx\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = \left. {\left( { - \cot x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} = \left( { - \cot \frac{\pi }{4}} \right) - \left( { - \cot \frac{\pi }{6}} \right) = - 1 + \sqrt 3 \)
b) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + \tan x} \right)\cos xdx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\cos x + \sin x} \right)dx} = \left. {\left( {\sin x - \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\)
\( = \left( {\sin \frac{\pi }{4} - \cos \frac{\pi }{4}} \right) - \left( {\sin 0 - \cos 0} \right) = 0 - \left( { - 1} \right) = 1\)
(Trả lời bởi datcoder)
Một vật chuyển động với tốc độ v(t) = 3t + 4 (m/s), với thời gian t tính theo giây, t Î [0; 5]. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t = 5.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiQuãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ \(t = 0\) đến \(t = 5\) là
\(s = \int\limits_0^5 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^5 {\left( {3t + 4} \right)dt} = \left. {\left( {\frac{{3{t^2}}}{2} + 4t} \right)} \right|_0^5 = \frac{{115}}{2}\) (m)
(Trả lời bởi datcoder)
Một chất điểm đang chuyển động với tốc độ v0 = 1 m/s thì tăng tốc với gia tốc không đổi a = 3 m/s2. Hỏi tốc độ của chất điểm là bao nhiêu sau 10 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiVận tốc của chất điểm sau 10 giây là
\(v\left( {10} \right) = v\left( {10} \right) - v\left( 0 \right) + v\left( 0 \right) = \int\limits_0^{10} {adt} + v\left( 0 \right) = \int\limits_0^{10} {3dt} + {v_0} = 3\left. {\left( t \right)} \right|_0^{10} + 1 = 31\) (m/s).
(Trả lời bởi datcoder)
Tốc độ tăng dân số của một thành phố trong một số năm được ước lượng bởi công thức P'(t) = 20.(1,106)t với 0 ≤ t ≤ 7, trong đó t là thời gian tính theo năm và t = 0 ứng với đầu năm 2015, P(t) là dân số của thành phố tính theo nghìn người. Cho biết dân số của thành phố đầu năm 2015 là 1008 nghìn người.
a) Tính dân số của thành phố ở thời điểm đầu năm 2020 (làm tròn đến nghìn người).
b) Tính tốc độ tăng dân số trung bình hằng năm của thành phố trong giai đoạn từ đầu năm 2015 đến đầu năm 2020.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Theo đề bài, ta có \(P\left( 0 \right) = 1008\)
Đến đầu năm 2020, ta có \(t = 2020 - 2015 = 5\). Do đó, dân số của thành phố ở thời điểm đầu năm 2020 là
\(P\left( 5 \right) = \left[ {P\left( 5 \right) - P\left( 0 \right)} \right] + P\left( 0 \right) = \int\limits_0^5 {P'\left( t \right)dt} + P\left( 0 \right) = \int\limits_0^5 {20.{{\left( {1,106} \right)}^t}dt} + 1008\)
\( = 20.\left. {\left( {\frac{{1,{{106}^t}}}{{\ln 1,106}}} \right)} \right|_0^5 + 1008 = 20.\frac{{1,{{106}^5} - 1}}{{\ln 1,106}} + 1008 \approx 1138\) (nghìn người).
Vậy dân số của thành phố đó vào đầu năm 2020 là khoảng 1138 nghìn người.
b) Tốc độ tăng dân số trung bình của thành phố trong giai đoạn từ đầu năm 2015 đến đầu năm 2020 là \(v = \frac{{P\left( 5 \right) - P\left( 0 \right)}}{5} = \frac{{1138 - 1008}}{5} = 26\) (nghìn người).
(Trả lời bởi datcoder)