Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của MN. Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{2 + 0}}{2} = 1\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{1 + 3}}{2} = 2\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{{0 + 0}}{2} = 0\end{array} \right. \Rightarrow I(1;2;0)\).

Ta có \(\overrightarrow {MN} = (0 - 2;3 - 1;0 - 0) = ( - 2;2;0)\).

Phương trình mặt phẳng trung trực của MN là:

\( - 2(x - 1) + 2(y - 2) + 0(z - 0) = 0\)

\( \Leftrightarrow - 2x + 2y - 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow x - y + 1 = 0\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

\(\overrightarrow n = [\overrightarrow u ;\overrightarrow v ] = (5; - 4;3)\).

b) Phương trình mặt phẳng (P):

\(5(x - 1) - 4(y - 3) + 3(z + 2) = 0 \)

\(\Leftrightarrow 5x - 4y + 3z + 13 = 0\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Cặp vecto chỉ phương \(\overrightarrow i \), \(\overrightarrow j \) của (P) đều thuộc mặt phẳng (Oxy). Do đó, vecto pháp tuyến của (P) vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Ta lấy \(\overrightarrow k = (0;0;1)\) thỏa mãn điều kiện trên.

Mặt phẳng (P) đi qua \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), nhận \(\overrightarrow k = (0;0;1)\) làm vecto pháp tuyến có phương trình:

\(0\left( {x - {x_0}} \right) + 0\left( {y - {y_0}} \right) + 1\left( {z - {z_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow z - {z_0} = 0\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(\overrightarrow {HI} = (2;2;0)\), \(\overrightarrow {HK} = (0;3;3)\).

Có \(\overrightarrow {HI} \ne k.\overrightarrow {HK} \) suy ra H, I, K không thẳng hàng.

b) Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

\(\overrightarrow n = [\overrightarrow {HI} ;\overrightarrow {HK} ] = (6; - 6;6)\).

Phương trình mặt phẳng (P) là:

\(6(x + 1) - 6(y - 1) + 6(z - 2) = 0 \)

\(\Leftrightarrow 6x - 6y + 6z = 0 \)

\(\Leftrightarrow x - y + z = 0\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = ( - 1;1;1)\), \(\overrightarrow {MP} = ( - 2; - 2; - 1)\).

\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\{ - 2}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 1}\\{ - 1}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( {1; - 3;4} \right)\) là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm.

Phương trình mặt phẳng (MNP) là:

\(1(x - 1) - 3(y - 2) + 4(z - 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow x - 3y + 4z - 1 = 0\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt phẳng (ABC) là:

\(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(\overrightarrow {{n_1}} = 2\overrightarrow {{n_2}} = (2;2;2)\).

b) \({D_1}= 1\); \(2{D_2}= -2\).

Vậy \({D_1} \ne 2{D_2}\).

c) \(({P_1})//({P_2})\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Vecto pháp tuyến của các mặt phẳng (P), (Q), (R) là:

\(\overrightarrow {{n_P}} = (1;0;0)\), \(\overrightarrow {{n_Q}} = (0;1;0)\), \(\overrightarrow {{n_R}} = (0;0;1)\).

Vecto pháp tuyến của các mặt phẳng (Oyz): x = 0, (Ozx): y = 0, (Oxy): z = 0 là:

\(\overrightarrow i = (1;0;0)\), \(\overrightarrow j = (0;1;0)\), \(\overrightarrow k = (0;0;1)\).

Do \(\overrightarrow i = \overrightarrow {{n_P}} \) và \(m \ne 0\) nên (P) // (Oyz).

Do \(\overrightarrow j = \overrightarrow {{n_Q}} \) và \(m \ne 0\) nên (Q) // (Ozx).

Do \(\overrightarrow k = \overrightarrow {{n_R}} \) và \(m \ne 0\) nên (R) // (Oxy).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

\(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 1.3 + 2.( - 2) + 1.1 = 0\) suy ra \(\overrightarrow {{n_1}} \),\(\overrightarrow {{n_2}} \) vuông góc với nhau.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Ozx) là \(\overrightarrow j = (0;1;0)\).

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow n = (1;0;2)\).

Ta có \(\overrightarrow j .\overrightarrow n = (0.1 + 1.0 + 0.2) = 0\) nên \(\overrightarrow j \bot \overrightarrow n \).

Vậy \((Ozx) \bot (P)\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)