Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm K(– 1; 2; 3) và nhận hai vectơ \(\overrightarrow{u}=\left(1;2;3\right),\overrightarrow{v}=\left(4;5;6\right)\) làm cặp vectơ chỉ phương.
Bài 1: Phương trình mặt phẳng
Bài tập 4 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 63)
Thảo luận (1)
Bài tập 3 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 63)
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(3; – 4; 5) và nhận \(\overrightarrow{n}=\left(2;7;-1\right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiPhương trình mặt phẳng (P) là: \(2(x - 3) + 7(y + 4) - (z - 5) = 0 \Leftrightarrow 2x + 7y - z + 27 = 0\)
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Bài tập 8 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 64)
Cho hai mặt phẳng (P1): 4x – y – z + 1 = 0,
(P2): 8x – 2y – 2z + 1 = 0.
a) Chứng minh rằng (P1) // (P2).
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P1), (P2).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} = (4; - 1; - 1);\overrightarrow {{n_2}} = (8; - 2; - 2) = 2\overrightarrow {{n_1}} \) suy ra \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) cùng phương.
Lấy điểm \(A(0;1;0) \in ({P_1})\), thấy \(A(0;1;0) \notin ({P_2})\).
Do đó: \(({P_1})//({P_2})\).
b) Với \(A(0;1;0) \in ({P_1})\), khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \(({P_1}),({P_2})\) là khoảng cách từ A đến \(({P_2})\).
\(d(A;({P_2})) = \frac{{\left| { - 2.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{8^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{12}}\).
Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \(({P_1}),({P_2})\) là \(\frac{{\sqrt 2 }}{{12}}\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Bài tập 5 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 63)
Lập phương trình mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:
a) (P) đi qua điểm I(3; – 4; 1) và vuông góc với trục Ox;
b) (P) đi qua điểm K(– 2; 4; – 1) và song song với mặt phẳng (Ozx);
c) (P) đi qua điểm K(– 2; 4; – 1) và song song với mặt phẳng (Q): 3x + 7y + 10z + 1 = 0.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \((P) \bot Ox \Rightarrow {\overrightarrow n _{(P)}} = (1;0;0)\)
Phương trình mặt phẳng (P) là: \(x - 3 = 0\)
b) \((P)//(Oxz) \Rightarrow (P) \bot Oy \Rightarrow {\overrightarrow n _{(P)}} = (0;1;0)\)
Phương trình mặt phẳng (P) là: \(y - 4 = 0\)
c) \((P)//(Q) \Rightarrow {\overrightarrow n _{(P)}} = {\overrightarrow n _{(Q)}} = (3;7;10)\)
Phương trình mặt phẳng (P) là: \(3(x + 2) + 7(y - 4) + 10(z + 1) = 0 \Leftrightarrow 3x + 7y + 10z - 12 = 0\)
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Bài tập 7 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 63)
Lập phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn của mặt phẳng (P), biết (P) đi qua ba điểm A(5; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiPhương trình đoạn chắn của mặt phẳng (P) là: \(\frac{x}{5} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1\)
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Bài tập 9 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 64)
a) Cho hai mặt phẳng (P1): x + 2y + 3z + 4 = 0, (P2): x + y – z + 5 = 0. Chứng minh rằng (P1) ⊥ (P2).
b) Cho mặt phẳng (P): x – 2y – 2z + 1 = 0 và điểm M(1; 1; – 6). Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} = (1;2;3);\overrightarrow {{n_2}} = (1;1; - 1)\)
\(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 1.1 + 2.1 + 3.( - 1) = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \)
Do đó: \(({P_1}) \bot ({P_2})\)
b) \(d(M;(P)) = \frac{{\left| {1.1 - 2.1 - 2.( - 6) + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 4\)
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Bài tập 11 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 64)
Hình 20 minh họa hình ảnh một tòa nhà trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Biết A(50; 0; 0), D(0; 20; 0), B(4k; 3k; 2k) với k 0 và mặt phẳng (CBEF) có phương trình là z 3.a) Tìm tọa độ của điểm B.b) Lập phương trình mặt phẳng (AOBC).c) Lập phương trình mặt phẳng (DOBE).d) Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng (AOBC) và (DOBE).
Đọc tiếp
Hình 20 minh họa hình ảnh một tòa nhà trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Biết A(50; 0; 0), D(0; 20; 0), B(4k; 3k; 2k) với k > 0 và mặt phẳng (CBEF) có phương trình là z = 3.
a) Tìm tọa độ của điểm B.
b) Lập phương trình mặt phẳng (AOBC).
c) Lập phương trình mặt phẳng (DOBE).
d) Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng (AOBC) và (DOBE).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có \(B \in (CBEF):2k = 3 \Leftrightarrow k = \frac{3}{2}\).
Vậy \(B(6;\frac{9}{2};3)\).
b) \(\overrightarrow {OA} = (50;0;0);\overrightarrow {OB} = (6;\frac{9}{2};3)\).
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (AOBC) là: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right] = (0; - 150;225) = 75(0; - 2;3)\).
Phương trình mặt phẳng (AOB) là: -2y + 3z = 0.
Vậy phương trình mặt phẳng (AOBC) là -2y + 3z = 0.
c) \(\overrightarrow {OD} = (0;20;0)\).
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (AOBC) là: \(\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {OD} ;\overrightarrow {OB} } \right] = (60;0; - 120) = 60(1;0; - 2)\).
Phương trình mặt phẳng (DOB) là: x - 2z = 0.
Vậy phương trình mặt phẳng (DOBE) là x - 2z = 0.
d) Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (AOBC) và (DOBE) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = (0; - 2;3)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} = (1;0; - 2)\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Bài tập 12 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 64)
Hình 21 minh họa một khu nhà đang xây dựng được gắn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên các trục là mét). Mỗi cột bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều và tâm của mặt đáy trên lần lượt là các điểm A(2; 1; 3), B(4; 3; 3), C(6; 3; 2,5), D(4; 0; 2,8).a) Lập phương trình mặt phẳng (ABC).b) Bốn điểm A, B, C, D có đồng phẳng hay không?
Đọc tiếp
Hình 21 minh họa một khu nhà đang xây dựng được gắn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên các trục là mét). Mỗi cột bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều và tâm của mặt đáy trên lần lượt là các điểm A(2; 1; 3), B(4; 3; 3), C(6; 3; 2,5), D(4; 0; 2,8).
a) Lập phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Bốn điểm A, B, C, D có đồng phẳng hay không?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (2;2;0);\overrightarrow {AC} = (4;2; - 0,5)\).
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = ( - 1;1; - 4)\).
Phương trình mặt phẳng (ABC) là: \( - 1(x - 2) + 1(y - 1) - 4(z - 3) = 0 \Leftrightarrow - x + y - 4z + 13 = 0\) (*)
b) Thay tọa độ điểm D(4;0;2,8) vào phương trình (*): \( - 1(4 - 2) + 1(0 - 1) - 4(2,8 - 3) = -2,2 \ne 0 \).
Suy ra D không thuộc mặt phẳng (ABC).
Vậy bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Bài tập 10 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 64)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.OBCD có đáy là hình chữ nhật và các điểm O(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D(0; 3; 0), S(0; 0; 4) (Hình 19).
a) Tìm toạ độ điểm C.
b) Lập phương trình mặt phẳng (SBD).
c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) C(2;3;0).
b) \(\overrightarrow {SB} = (2;0; - 4);\overrightarrow {SD} = (0;3; - 4)\).
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (SBD) là: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {SD} } \right] = (12;8;6) = 2(6;4;3)\).
Phương trình mặt phẳng (SBD) là: \(6x + 4y + 3z - 12 = 0\).
c) \(d(C;(SBD)) = \frac{{\left| {6.2 + 4.3 + 3.0 - 12} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {4^2} + {3^2}} }} = \frac{{12\sqrt {61} }}{{61}}\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Bài tập 6 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 63)
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1; 1; 1), B(0; 4; 0), C(2; 2; 0).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải(P) có cặp vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = ( - 1;3; - 1),\overrightarrow {BC} = (2; - 2;0)\)
Vecto pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right] = \left( { - 2; - 2; - 4} \right) = - 2(1;1;2)\)
Phương trình mặt phẳng (P) là: \(x + (y - 4) + 2z = 0 \Leftrightarrow x + y + 2z - 4 = 0\)
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)