Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1; 3; – 2) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\left(1;1;3\right),\overrightarrow{v}=\left(2;-1;2\right)\) (Hình 10).

a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) của mặt phẳng (P).

b) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1; 3; – 2), biết vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\).

Cho cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=\left(1;0;1\right),\overrightarrow{b}=\left(2;1;0\right)\) của mặt phẳng (P).

a) Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ \(\overrightarrow{n}\left(\overrightarrow{n}\ne\overrightarrow{0}\right)\) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) (Hình 6).

b) Vectơ \(\overrightarrow{n}\) có là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P( hay không?

Cho ba điểm H(– 1; 1; 2), I(1; 3; 2), K(– 1; 4; 5) cùng thuộc mặt phẳng (P) (Hình 11).

a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow{HI},\overrightarrow{HK}\). Từ đó hãy chứng tỏ rằng ba điểm H, I, K không thẳng hàng.

b) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm H(– 1; 1; 2), biết cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{HI},\overrightarrow{HK}\).

Người ta muốn sản xuất một chi tiết máy được cắt ra từ một ống trụ thép bằng gia công cơ khí chính xác (Hình 1). Để làm chi tiết máy đó, người ta cần xác định phương trình của mặt cắt trong một hệ tọa độ thích hợp và đưa những dữ liệu đó vào hệ thống máy tính điều khiển các máy gia công cơ khí kĩ thuật số.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt phẳng là gì? Làm thế nào để lập được phương trình của mặt phẳng?