Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Hướng dẫn giải

a) \(\overrightarrow {H{M_0}} = (2 - {x_H};3 - {y_H};4 - {z_H})\).

b) Vì H là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) trên mặt phẳng (P) nên 2 vecto \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {H{M_0}} \) cùng phương.

Ta có: \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right|.\left| {\cos \left( {\overrightarrow n ;\overrightarrow {H{M_0}} } \right)} \right| = \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right|\).

Lại có: \(\overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}} = A(2 - {x_H}) + B(3 - {y_H}) + C(4 - {z_H}) \)

\(= A.2 + B.3 + C.4 + ( - A{x_H} - B{y_H} - C{z_H})\)

\(= A.2 + B.3 + C.4 + D\).

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \left| {A.2 + B.3 + C.4 + D} \right|\).

Vậy \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \left| {A.2 + B.3 + C.4 + D} \right|\).

c) \(\left| {\overrightarrow n } \right| = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \)

\(\left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {A.2 + B.3 + C.4 + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Vậy công thức tính khoảng cách từ điểm \({M_0}(2;3;4)\) đến mặt phẳng (P) là \(d({M_0};(P)) = \frac{{\left| {A.2 + B.3 + C.4 + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

(Oyz): x = 0; (Ozx): y = 0; (Oxy): z = 0.

\(d\left( {{M_0};(Oyz)} \right) = \frac{{\left| {1.a + 0.b + 0.b + 0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \left| a \right|\);

\(d\left( {{M_0};(Ozx)} \right) = \frac{{\left| {0.a + 1.b + 0.b + 0} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \left| b \right|\);

\(d\left( {{M_0};(Oxy)} \right) = \frac{{\left| {0.a + 0.b + 1.b + 0} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \left| c \right|\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = (6; - 8;0)\), \(\overrightarrow {{n_2}} = (3; - 4;0)\) lần lượt là hai vecto pháp tuyến của các mặt phẳng \(({P_1})\), \(({P_2})\).

Do \(\overrightarrow {{n_1}} = 2\overrightarrow {{n_2}} \) và \( - 3 \ne 2\) nên \(({P_1})\) // \(({P_2})\).

b) Chọn điểm \({M_0}\left( {\frac{1}{2};0;0} \right) \in ({P_1})\).

Khoảng cách từ \({M_0}\) đến \(({P_2})\) là:

\(d\left( {{M_0};({P_2})} \right) = \frac{{\left| {3.\frac{1}{2} - 4.0 + 0.0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2} + {0^2}} }} = \frac{7}{{10}}\).

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \(({P_1})\), \(({P_2})\) bằng \(\frac{7}{{10}}\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

\(3x - 4y - 5z + 1 = 0\) có dạng: \(Ax + By + Cz + D = 0\)

Vậy \(3x - 4y - 5z + 1 = 0\) là một phương trình tổng quát của mặt phẳng

Chọn D

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng \(x + 2y - 3z + 4 = 0\) có một vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_3}} = (1;2; - 3)\)

Chọn C

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt phẳng (P) là: \(2(x - 3) + 7(y + 4) - (z - 5) = 0 \Leftrightarrow 2x + 7y - z + 27 = 0\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right] = ( - 3;6; - 3) = - 3(1; - 2;1) \Rightarrow \overrightarrow n = (1; - 2;1)\)

Phương trình mặt phẳng (P) là: \((x + 1) - 2(y - 2) + (z - 3) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + z + 2 = 0\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \((P) \bot Ox \Rightarrow {\overrightarrow n _{(P)}} = (1;0;0)\)

Phương trình mặt phẳng (P) là: \(x - 3 = 0\)

b) \((P)//(Oxz) \Rightarrow (P) \bot Oy \Rightarrow {\overrightarrow n _{(P)}} = (0;1;0)\)

Phương trình mặt phẳng (P) là: \(y - 4 = 0\)

c) \((P)//(Q) \Rightarrow {\overrightarrow n _{(P)}} = {\overrightarrow n _{(Q)}} = (3;7;10)\)

Phương trình mặt phẳng (P) là: \(3(x + 2) + 7(y - 4) + 10(z + 1) = 0 \Leftrightarrow 3x + 7y + 10z - 12 = 0\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

(P) có cặp vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = ( - 1;3; - 1),\overrightarrow {BC} = (2; - 2;0)\)

Vecto pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right] = \left( { - 2; - 2; - 4} \right) = - 2(1;1;2)\)

Phương trình mặt phẳng (P) là: \(x + (y - 4) + 2z = 0 \Leftrightarrow x + y + 2z - 4 = 0\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (P) là: \(\frac{x}{5} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)