Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} = (4; - 1; - 1);\overrightarrow {{n_2}} = (8; - 2; - 2) = 2\overrightarrow {{n_1}} \) suy ra \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) cùng phương.

Lấy điểm \(A(0;1;0) \in ({P_1})\), thấy \(A(0;1;0) \notin ({P_2})\).

Do đó: \(({P_1})//({P_2})\).

b) Với \(A(0;1;0) \in ({P_1})\), khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \(({P_1}),({P_2})\) là khoảng cách từ A đến \(({P_2})\).

\(d(A;({P_2})) = \frac{{\left| { - 2.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{8^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{12}}\).

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \(({P_1}),({P_2})\) là \(\frac{{\sqrt 2 }}{{12}}\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} = (1;2;3);\overrightarrow {{n_2}} = (1;1; - 1)\)

\(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 1.1 + 2.1 + 3.( - 1) = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \)

Do đó: \(({P_1}) \bot ({P_2})\)

b) \(d(M;(P)) = \frac{{\left| {1.1 - 2.1 - 2.( - 6) + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 4\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) C(2;3;0).

b) \(\overrightarrow {SB} = (2;0; - 4);\overrightarrow {SD} = (0;3; - 4)\).

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (SBD) là: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {SD} } \right] = (12;8;6) = 2(6;4;3)\).

Phương trình mặt phẳng (SBD) là: \(6x + 4y + 3z - 12 = 0\).

c) \(d(C;(SBD)) = \frac{{\left| {6.2 + 4.3 + 3.0 - 12} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {4^2} + {3^2}} }} = \frac{{12\sqrt {61} }}{{61}}\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(B \in (CBEF):2k = 3 \Leftrightarrow k = \frac{3}{2}\).

Vậy \(B(6;\frac{9}{2};3)\).

b) \(\overrightarrow {OA} = (50;0;0);\overrightarrow {OB} = (6;\frac{9}{2};3)\).

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (AOBC) là: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right] = (0; - 150;225) = 75(0; - 2;3)\).

Phương trình mặt phẳng (AOB) là: -2y + 3z = 0.

Vậy phương trình mặt phẳng (AOBC) là -2y + 3z = 0.

c) \(\overrightarrow {OD} = (0;20;0)\).

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (AOBC) là: \(\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {OD} ;\overrightarrow {OB} } \right] = (60;0; - 120) = 60(1;0; - 2)\).

Phương trình mặt phẳng (DOB) là: x - 2z = 0.

Vậy phương trình mặt phẳng (DOBE) là x - 2z = 0.

d) Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (AOBC) và (DOBE) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = (0; - 2;3)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} = (1;0; - 2)\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (2;2;0);\overrightarrow {AC} = (4;2; - 0,5)\).

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = ( - 1;1; - 4)\).

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: \( - 1(x - 2) + 1(y - 1) - 4(z - 3) = 0 \Leftrightarrow - x + y - 4z + 13 = 0\) (*)

b) Thay tọa độ điểm D(4;0;2,8) vào phương trình (*): \( - 1(4 - 2) + 1(0 - 1) - 4(2,8 - 3) = -2,2 \ne 0 \).

Suy ra D không thuộc mặt phẳng (ABC).

Vậy bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)