Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Hướng dẫn giải

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mỗi mặt phẳng (P) có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0.

Để lập được phương trình của mặt phẳng ta cần biết một điểm nằm trên mặt phẳng và biết vectơ pháp tuyến (hoặc cặp vectơ chỉ phương) của mặt phẳng.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Vì AA' vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giá của vecto \(\overrightarrow {AA'} \) cũng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Vecto \(\overrightarrow i = (1;0;0)\) có giá là trục Ox và \(Ox \bot (Oyz)\) nên \(\overrightarrow i = (1;0;0)\) là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Oyz).

b) Vecto \(\overrightarrow j = (0;1;0)\) có giá là trục Oy và \(Oy \bot (Ozx)\) nên \(\overrightarrow j = (0;1;0)\) là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Ozx).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Hai vecto \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {A'D'} \) không cùng phương.

Giá của vecto \(\overrightarrow {AB} \) nằm trong mặt phẳng (ABCD).

Giá của vecto \(\overrightarrow {A'D'} \) song song với mặt phẳng (ABCD).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Do hai vecto \(\overrightarrow i \), \(\overrightarrow j \) không cùng phương và có giá cùng nằm trong mặt phẳng (Oxy) nên \(\overrightarrow i \), \(\overrightarrow j \) là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (Oxy).

Do hai vecto \(\overrightarrow j \), \(\overrightarrow k \) không cùng phương và có giá cùng nằm trong mặt phẳng (Oyz) nên \(\overrightarrow j \), \(\overrightarrow k \) là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (Oyz).

Do hai vecto \(\overrightarrow k \), \(\overrightarrow i \) không cùng phương và có giá cùng nằm trong mặt phẳng (Oyz) nên \(\overrightarrow k \), \(\overrightarrow i \) là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (Ozx).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(\overrightarrow n = (0.0 - 1.1;1.2 - 0.1;1.1 - 2.0) = ( - 1;2;1)\).

b) \(\overrightarrow n \) vuông góc với cả hai vecto chỉ phương của mặt phẳng (P) nên \(\overrightarrow n \) có giá vuông góc với mặt phẳng (P) và là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&5\\{ - 1}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&1\\1&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\{ - 3}&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = \left( {8; - 16;8} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {n'} = (1; - 2;1) = \frac{1}{8}(8; - 16;8) = \frac{1}{8}\overrightarrow n \).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(\overrightarrow {AM} = (x - 1;y + 1;z - 2)\).

\(\overrightarrow n .\overrightarrow {AM} = (x - 1) + 2(y + 1) + 3(z - 2) = x + 2y + 3z - 5\).

b) Tọa độ (x;y;z) của điểm M có thỏa mãn phương trình: x + 2y + 3z – 5 = 0.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(x - y = 0 \Leftrightarrow 1.x + ( - 1)y + 0.z = 0\).

Mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n = (1; - 1;0)\) làm vecto pháp tuyến.

b) Ta có \(x - 2 = 0 \Leftrightarrow 0.x + 0.y + 1.z - 2 = 0\).

Mặt phẳng (Q) nhận \(\overrightarrow n = (0;0;1)\) làm vecto pháp tuyến.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(\overrightarrow {IM} = (x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0})\).

\(\overrightarrow n .\overrightarrow {IM} = A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0})\).

b) \(\overrightarrow n .\overrightarrow {IM} \)

\( = A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) \)

\( = Ax + By + Cz - A{x_0} - B{y_0} - C{z_0}\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)