Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Người ta muốn sản xuất một chi tiết máy được cắt ra từ một ống trụ thép bằng gia công cơ khí chính xác (Hình 1). Để làm chi tiết máy đó, người ta cần xác định phương trình của mặt cắt trong một hệ tọa độ thích hợp và đưa những dữ liệu đó vào hệ thống máy tính điều khiển các máy gia công cơ khí kĩ thuật số.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt phẳng là gì? Làm thế nào để lập được phương trình của mặt phẳng?

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Cho biết hai vectơ \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'D'}\) có cùng phương hay không. Nhận xét về vị trí tương đối giữa giá của mỗi vectơ \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'D'}\) và mặt phẳng (ABCD) (Hình 5).

Cho cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=\left(1;0;1\right),\overrightarrow{b}=\left(2;1;0\right)\) của mặt phẳng (P).

a) Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ \(\overrightarrow{n}\left(\overrightarrow{n}\ne\overrightarrow{0}\right)\) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) (Hình 6).

b) Vectơ \(\overrightarrow{n}\) có là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P( hay không?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; – 1; 2) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left(1;2;3\right)\).

Giả sử M(x; y; z) là một điểm tùy ý thuộc mặt phẳng (P) (Hình 7).

a) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AM}\) theo x, y, z.

b) Tọa độ (x; y; z) của điểm M có thỏa mãn phương trình: x + 2y + 3z – 5 = 0 hay không?

Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm I(x₀; y₀; z₀) có \(\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)\) là vectơ pháp tuyến. Giả sử M(x; y; z) là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (P) (Hình 9).

a) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{IM}\).

b) Hãy biểu diễn \(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{IM}\) theo x₀, y₀, z₀; x, y, z và A, B, C.