Giả sử :x1= 2x2
Ta có: \(\Delta'=\left(-\left(m-2\right)\right)^2-m^2-4\)\(=m^2-4m+4-m^2-4\)
\(=-4m\)
Để phương trình có 2nghiệm phân biệt ⇒ -4m > 0 ⇌ m < 0
⇒ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1;x2
Do x1= 2x2
Theo hệ thức Vi-ét , ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-2\right)\\x_1.x_2=m^2+4\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_2=2m-4\\2\left(x_2\right)^2=m^2+4\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_2=2m-4\\\left(x_2\right)^2=\dfrac{m^2+4}{2}\end{matrix}\right.\)
⇒ (3x2)2 = (2m-4)2
⇌ 9(x2)2 = 4m2 - 16m + 16
⇌ \(\dfrac{9m^2+36}{2}=4m^2-16m+16\)
⇌ 9m2 + 36 = 8m2 - 32m + 32
⇌ m2 + 32m + 4 = 0
⇌ (m2 + 32m + 256) - 252 =0
⇌ (m + 16)2 -(\(6\sqrt{7}\))2 =0
⇌ (m + 16 + \(6\sqrt{7}\))(m + 16 -\(6\sqrt{7}\)) = 0
⇌ \(\left[{}\begin{matrix}m+16+6\sqrt{7}=0\\m+16-6\sqrt{7}=0\end{matrix}\right.\) ⇌ \(\left[{}\begin{matrix}m=-16-6\sqrt{7}\\m=6\sqrt{7}-16\end{matrix}\right.\)(thỏa mãn điều kiện)
Vậy với m = -16 - \(6\sqrt{7}\) hoặc m = \(6\sqrt{7}\) -16 thì pt có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
đạt giá trị nhỏ nhất
