Question

Với mọi số nguyên dương n, chứng minh \(\left(3+\sqrt{5}\right)^n+\left(3-\sqrt{5}\right)^n\)là số nguyên dương

Answer 1

Đặt \(a=3-\sqrt{5}\); \(b=3+\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow S_1=a+b=6\) và \(P=ab=\left(3-\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)=3^2-\left(\sqrt{5}\right)^2=9-5=4\)

Ta có: \(S_n=\left(3+\sqrt{5}\right)^n+\left(3-\sqrt{5}\right)^n\)

\(=b^n+a^n=a^n+b^n\)

\(=\left(a^{n-1}+b^{n-1}\right)\left(a+b\right)-ab\left(a^{n-2}+b^{n-2}\right)\)

\(=S_1\cdot S_{n-1}-P\cdot S_{n-2}\)

Vậy nên biểu diễn được chỉ bằng và nên nó là số nguyên dương