Với \(x>0\) ta có: \(\dfrac{1}{\sqrt{1+x^3}}=\dfrac{1}{\sqrt{\left(1+x\right)\left(x^2-x+1\right)}}\ge\dfrac{2}{1+x+x^2-x+1}=\dfrac{2}{x^2+2}\)
Do đó:
\(\sqrt{\dfrac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\left(\dfrac{b+c}{a}\right)^3}}\ge\dfrac{2}{\left(\dfrac{b+c}{a}\right)^2+2}=\dfrac{2a^2}{2a^2+\left(b+c\right)^2}\)
Mà \(\left(b+c\right)^2\le2\left(b^2+c^2\right)\Rightarrow\dfrac{2a^2}{2a^2+\left(b+c\right)^2}\ge\dfrac{2a^2}{2a^2+2\left(b^2+c^2\right)}=\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}\ge\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Chứng minh tương tự ta được:
\(\sqrt{\dfrac{b^3}{b^3+\left(a+c\right)^3}}\ge\dfrac{b^2}{a^2+b^2+c^2}\) ; \(\sqrt{\dfrac{c^3}{c^3+\left(a+b\right)^3}}\ge\dfrac{c^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Cộng vế các BĐT nói trên ta sẽ được đpcm (hơi dài nên làm biếng ghi lại)
