Question

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;0;-2), B(1;1;-5) và mặt phẳng \(\left(\alpha\right):x-2y+11=0\). Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) sao cho MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất là:

A. M(3;7;-2)

B. M\(\left(1;\frac{1}{2};-\frac{7}{2}\right)\)

C. M\(\left(-\frac{1}{2};\frac{21}{4};-3\right)\)

D. M\(\left(0;\frac{11}{2};-1\right)\)

(Giải thích giùm mình)

Answer 1

Mặt phẳng gọi là (P) đi cho dễ gõ kí tự.

Thay tọa độ A; B vào (P) cho 2 kết quả cùng dấu dương \(\Rightarrow\) A và B nằm cùng phía so với (P)

Gọi A' là điểm đối xứng với A qua (P), với điểm M bất kì thuộc (P) ta luôn có \(MA=MA'\Rightarrow MA+MB=MA'+MB\ge A'B\)

\(\Rightarrow MA+MB_{min}\) khi M;B;A' thẳng hàng hay M là giao điểm của đường thẳng A'B và (P)

Pt tham số của đường thẳng d qua A và vuông góc (P) nhận \(\left(1;-2;0\right)\) là vtcp: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=-2t\\z=-2\end{matrix}\right.\)

Gọi C là giao của d và (P) \(\Rightarrow\) tọa độ C thỏa mãn:

\(1+t-2\left(-2t\right)+11=0\Rightarrow t=-\frac{12}{5}\) \(\Rightarrow C\left(-\frac{7}{5};\frac{24}{5};-2\right)\)

C là trung điểm AA' \(\Rightarrow A'\left(-\frac{19}{5};\frac{48}{5};-2\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{A'B}=\left(\frac{24}{5};-\frac{43}{5};-3\right)=\frac{1}{5}\left(24;-43;-15\right)\)

Phương trình tham số A'B: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+24t\\y=1-43t\\z=-5-15t\end{matrix}\right.\)

Tọa độ M thỏa mãn:

\(1+24t-2\left(1-43t\right)+11=0\Rightarrow t=-\frac{1}{11}\) \(\Rightarrow M\left(-\frac{13}{11};\frac{54}{11};-\frac{40}{11}\right)\)

Kết quả ko giống, bạn xem lại đề bài có ghi nhầm chỗ nào ko