Question

1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi T là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Hỏi góc giữa đường thẳng TB và BD là ?

2) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) trong đó a>0, b>0, c>0 và \(\frac{1}{a}\)+ \(\frac{2}{b}\)+ \(\frac{3}{c}\)= 7. Biết mặt phẳng (ABC) tiếp xúc với mặt cầu (S): (x-1)²+ (y-2)²+ (z-3)²= \(\frac{72}{7}\). Thể tích của khối tứ diện OABC.

3)Cho các số thực a, b, c thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}a+c>b+1\\a+b+c+1< 0\end{matrix}\right.\). Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y=x³+ ax²+bx+c và trục Ox

4) Cho f(x) là hàm chẵn và \(\int\limits^5_0f\left(x\right)dx\) = 5, tính tích phân \(\int\limits^5_{-5}\frac{3}{2}f\left(x\right)dx\)=?

Answer 1

Câu 4:

Do \(f\left(x\right)\) là hàm chẵn \(\Rightarrow f\left(x\right)=f\left(-x\right)\) \(\forall x\)

Xét tích phân:

\(I=\int\limits^0_{-5}f\left(x\right)dx\)

Đặt \(x=-t\Rightarrow dx=-dt\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x=-5\Rightarrow t=5\\x=0\Rightarrow t=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\int\limits^0_5f\left(-t\right)\left(-dt\right)=\int\limits^5_0f\left(-t\right)dt=\int\limits^5_0f\left(t\right)dt=\int\limits^5_0f\left(x\right)dx\)

Vậy:

\(\frac{3}{2}\int\limits^5_{-5}f\left(x\right)dx=\frac{3}{2}\left(\int\limits^0_{-5}f\left(x\right)dx+\int\limits^5_0f\left(x\right)dx\right)=\frac{3}{2}.2\int\limits^5_0f\left(x\right)dx=3.5=15\)

Answer 2

Câu 1:

Gọi O là tâm đáy , G là trọng tâm tam giác đều SAB

Qua O kẻ đường thẳng d vuông góc mặt phẳng (ABCD) (đường thẳng này song song SG)

Trong mặt phẳng (SGO) hay mở rộng là (SHO) với H là trung điểm BC, qua G kẻ đường thẳng song song OH cắt d tại T \(\Rightarrow T\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Ta có \(OT=GH=\frac{1}{3}SH=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)

\(OB=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{TBD}=\frac{OT}{OB}=\frac{\sqrt{6}}{6}\Rightarrow\widehat{TBD}\approx22^012'\)

Câu 2:

Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (ABC): \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)

Do \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=7\Leftrightarrow\frac{\frac{1}{7}}{a}+\frac{\frac{2}{7}}{b}+\frac{\frac{3}{7}}{c}=1\)

\(\Rightarrow\left(ABC\right)\) luôn đi qua điểm cố định \(D\left(\frac{1}{7};\frac{2}{7};\frac{3}{7}\right)\)

Gọi \(I\left(1;2;3\right)\) là tâm mặt cầu

\(\Rightarrow ID^2=\left(1-\frac{1}{7}\right)^2+\left(2-\frac{2}{7}\right)^2+\left(3-\frac{3}{7}\right)^2=\frac{72}{7}=R^2\)

\(\Rightarrow D\) chính là tiếp điểm của mặt cầu (S) và mặt phẳng (ABC)

\(\Rightarrow ID\perp\left(ABC\right)\) , mà \(\overrightarrow{DI}=\left(\frac{6}{7};\frac{12}{7};\frac{18}{7}\right)=\frac{6}{7}\left(1;2;3\right)\)

\(\Rightarrow\left(ABC\right)\) nhận \(\overrightarrow{n}=\left(1;2;3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình (ABC):

\(1\left(x-\frac{1}{7}\right)+2\left(y-\frac{2}{7}\right)+3\left(z-\frac{3}{7}\right)=0\)

\(\Rightarrow\)Giao điểm của (ABC) và các trục tọa độ: \(A\left(2;0;0\right)\) ;\(B\left(0;1;0\right)\); \(C\left(0;0;\frac{2}{3}\right)\)

Thể tích tứ diện: \(V=\frac{1}{3}.1.2.\frac{2}{3}=\frac{4}{9}\)

Answer 3

Câu 3:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1+a-b+c>0\\1+a+b+c< 0\end{matrix}\right.\)

\(f\left(1\right)=1+a+b+c\Rightarrow f\left(1\right)< 0\)

\(f\left(-1\right)=-1+a-b+c\Rightarrow f\left(-1\right)>0\)

\(\Rightarrow\) \(f\left(1\right).f\left(-1\right)< 0\Rightarrow\) phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;1\right)\)

Mặt khác do \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty\) (do hệ số của số hạng có bậc cao nhất dương)

\(\Rightarrow\) tồn tại 1 giá trị \(x_1>1\) sao cho \(f\left(x_1\right)>0\)

\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(x_1\right)< 0\Rightarrow\) phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(1;x_1\right)\)

Tương tự, \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty\) nên tồn tại \(x_2< -1\) sao cho \(f\left(x_2\right)< 0\)

\(\Rightarrow\) Phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(x_2;-1\right)\)

Nói ngắn gọn, phương trình luôn có 3 nghiệm lần lượt thuộc các khoảng \(\left(-\infty;-1\right);\left(-1;1\right);\left(1;+\infty\right)\)

Vậy đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt