Question

Trong đường tròn (O;R) có 2 bán kính OA, OB sao cho AOB=120, gọi OI là đường cao của tam giác AOB. Tia OI cắt đường tròn (O) tại C.
a) Tính các góc, cạnh AB, chiều cao OI của tam giác AOB theo R.
b) Chứng minh tứ giác OACB là hình thoi. Tính diện tích của OACB theo R.

Answer 1

Câu a : Do tam giác OAB cân tại O và \(\widehat{AOB}=120^0\Rightarrow\widehat{OAB}=\widehat{OBA}=30^0\)

Mặt khác : OI vừa là đường cao , đường trung tuyến , đường phân giác nên \(AB=2AI\) .

\(AI=\sin\widehat{AOI}.OA=\sin60.R=\frac{R\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AB=R\sqrt{3}\)

\(OI=\cos\widehat{AOB}.OA=\cos60.R=\frac{R}{2}\)

Câu b : Ta có \(\Delta OAC\) cân tại O mà \(\widehat{AOC}=60^0\) nên \(\Delta OAC\) là tam giác đều \(\Rightarrow OA=AC=OC\left(1\right)\)

Tương tự \(\Delta OBC\) nên ta có : \(OB=BC=OC\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow OA=OB=BC=AC\) nên \(OACB\) là hình thoi .

\(\Rightarrow S_{OACB}=\frac{1}{2}.AB.OC=AB.OI=R\sqrt{3}.\frac{R}{2}=\frac{R^2\sqrt{3}}{2}\)