a: AM+MB=AB
BN+NC=BC
CP+PD=CD
DQ+QA=DA
mà AB=BC=CD=DA và AM=BN=CP=DQ
nên MB=NC=PD=QA
Xét ΔMAQ vuông tại A và ΔPCN vuông tại C có
MA=PC
AQ=CN
Do đó: ΔMAQ=ΔPCN
=>MQ=PN
Xét ΔNBM vuông tại B và ΔQDP vuông tại D có
NB=QD
BM=DP
Do đó: ΔNBM=ΔQDP
=>NM=QP
Xét ΔMAQ vuông tại M và ΔNBM vuông tại B có
MA=NB
AQ=BM
Do đó: ΔMAQ=ΔNBM
=>\(\widehat{AMQ}=\widehat{BNM}\)
=>\(\widehat{AMQ}+\widehat{BMN}=90^0\)
\(\widehat{AMQ}+\widehat{QMN}+\widehat{NMB}=180^0\)
=>\(\widehat{QMN}+90^0=180^0\)
=>\(\widehat{QMN}=90^0\)
Xét tứ giác MNPQ có
MN=PQ
MQ=NP
Do đó: MNPQ là hình bình hành
mà \(\widehat{QMN}=90^0\)
nên MNPQ là hình chữ nhật
=>M,N,P,Q cùng thuộc 1 đường tròn
b: Xét ΔABQ vuông tại A có
\(tanABQ=\dfrac{AQ}{AB}\)
=>\(\dfrac{AQ}{a}=tan30=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
=>\(AQ=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)
ΔAQB vuông tại A
=>\(BQ^2=AB^2+AQ^2\)
=>\(BQ^2=a^2+\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2=\dfrac{4}{3}a^2\)
=>\(BQ=\dfrac{2a}{\sqrt{3}}\)
