Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đẹp Trai Không Bao Giờ S...

Tính \(Q=\frac{1}{4+\sqrt{4}}+\frac{1}{5\sqrt{2}+2\sqrt{5}}+\frac{1}{6\sqrt{3}+3\sqrt{6}}+...+\frac{1}{\left(n+3\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+3}}\)

Lê Thị Thục Hiền
15 tháng 9 2019 lúc 22:36

Tại \(n\in N,n\ge1\) có:

\(\frac{1}{\left(n+3\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+3}}=\frac{1}{\sqrt{n\left(n+3\right)}\left(\sqrt{n+3}+\sqrt{n}\right)}=\frac{\sqrt{n+3}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+3\right)}\left(n+3-n\right)}=\frac{\sqrt{n+3}-\sqrt{n}}{3\sqrt{n\left(n+3\right)}}\)

=\(\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+3}}\right)\)

=> \(\frac{1}{\left(n+3\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+3}}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+3}}\right)\) (1)

Áp dụng (1) vào Q có:

Q=\(\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{\sqrt{4}}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)+...+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+3}}\right)\)=\(\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{6}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+3}}\right)\)

=\(\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{4}}-\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{6}}-..-\frac{1}{\sqrt{n+3}}\right)\)

=\(\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+2}}-\frac{1}{\sqrt{n+3}}\right)\)

Đẹp Trai Không Bao Giờ S...
15 tháng 9 2019 lúc 22:12

Các câu hỏi tương tự
Anh Minh
Xem chi tiết
Dương Thanh Ngân
Xem chi tiết
Nguyễn Hiền Mai
Xem chi tiết
thi thu thuy khuat
Xem chi tiết
Đặng Ngọc Hà
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Vũ
Xem chi tiết
Ngô Hoàng Anh
Xem chi tiết
Đặng Ngọc Hà
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thu Hằng
Xem chi tiết