Lời giải:
ĐK:......
Ta có:
\(\sqrt{x^2-\frac{1}{4}+\sqrt{x^2+x+\frac{1}{4}}}=\frac{1}{2}(2x^3+x^2+2x+1)\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x^2-\frac{1}{4}+\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2}}=\frac{1}{2}(2x^3+x^2+2x+1)\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x^2-\frac{1}{4}+|x+\frac{1}{2}|}=\frac{1}{2}(2x^3+x^2+2x+1)(*)\)
TH1: \(x\geq -\frac{1}{2}\)
\((*)\Leftrightarrow \sqrt{x^2-\frac{1}{4}+x+\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}(2x^3+x^2+2x+1)\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x^2+x+\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}(2x^3+x^2+2x+1)\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{(x+\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{2}(2x^3+x^2+2x+1)\)
\(\Leftrightarrow x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(2x^3+x^2+2x+1)\)
\(\Rightarrow 2x^3+x^2=0\Leftrightarrow x^2(2x+1)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=0\\ x=\frac{-1}{2}\end{matrix}\right.\)
TH2: \(x< \frac{-1}{2}\)
Vế phải của pt biến đổi thành: \(\frac{1}{2}(2x+1)(x^2+1)< 0\) với $x< \frac{-1}{2}$. Mà vế trái của pt là căn bậc 2 luôn không âm, do đó TH này vô lý
Vậy......
