Lời giải:
Ta có:
\(x^4+y^3=xy^3+1\)
\(\Leftrightarrow (x^4-1)+(y^3-xy^3)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)(x+1)(x^2+1)-y^3(x-1)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)[(x+1)(x^2+1)-y^3]=0\)
TH1: \(x-1=0\Leftrightarrow x=1\)
Thay vào PT ban đầu suy ra \(1+y^3=y^3+1\) (đúng với mọi số nguyên $y$)
TH2: \((x+1)(x^2+1)-y^3=0\)
\(\Leftrightarrow y^3=x^3+x^2+x+1\)
Ta thấy: \(x^2+x+1=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}>0\)
Suy ra \(y^3=x^3+x^2+x+1>x^3\)
Mặt khác xét
\((x+2)^3-(x^3+x^2+x+1)=5x^2+11x+7=5(x+\frac{11}{10})^2+\frac{19}{20}>0\)
\(\Rightarrow (x+2)^3>x^3+x^2+x+1\Leftrightarrow (x+2)^3> y^3\)
Do đó \((x+2)^3> y^3> x^3\Rightarrow \) theo nguyên lý kẹp thì \(y^3=(x+1)^3\)
\(\Leftrightarrow x^3+x^2+x+1=(x+1)^3\)
\(\Leftrightarrow 2x^2+2x=0\Leftrightarrow x=0; x=-1\)
Nếu \(x=0\Rightarrow y^3=1\Rightarrow y=1\)
Nếu \(x=-1\Rightarrow y^3=0\Leftrightarrow y=0\)
Vậy \((x,y)\in \left\{(1;y); (0; 1); (-1; 0)\right\}\)
