Ta thấy \(5^n+1⋮7^{2018}\) nên \(5^{2n}-1⋮7^{2018}\).
Lại có k = 6 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn \(5^k-1⋮7\Rightarrow2n⋮6\Rightarrow n⋮3\).
Đặt n = 3h.
Nếu n chia hết cho 6 thì \(5^n-1⋮5^6-1\Rightarrow5^n-1⋮7\Rightarrow5^n+1⋮7̸\)(vô lí).
Do đó h là số lẻ.
Đặt h = 2m + 1 thì n = 3(2m + 1).
\(5^{2n}-1⋮7^{2018}\Rightarrow\left(5^6\right)^{2m+1}-1⋮7^{2018}\).
Do 56 - 1 chia hết cho 7 nên \(2018\le v_7\left(\left(5^6\right)^{2m+1}-1\right)=v_7\left(5^6-1\right)+v_7\left(2m+1\right)=1+v_7\left(2m+1\right)\Rightarrow m\ge1008\).
Từ đó \(n\ge6051\).
Vậy n nhỏ nhất là 6051.
, biết rằng n chia hết cho 99.
