Gọi \(d\in UC\left(18n+3;21n+7\right)\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(18n+3\right)⋮d\\7\left(18n+3\right)⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(21n+7\right)⋮d\\6\left(21n+7\right)⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow6\left(21n+7\right)-7\left(18n+3\right)⋮d=126n+42-126n+21\\ \Rightarrow21⋮d\Rightarrow d\in\left\{3;7\right\}\)
*Nếu \(k=3\Rightarrow\left(21n+7\right)⋮̸\) (loại)
*Nếu \(k=7\Rightarrow\left(21n+7\right)⋮d\) (nhận)
\(\Rightarrow\left(3-3n\right)⋮7\Rightarrow3-3n=7k\left(k\in N\right)\\ \Rightarrow1-n=\dfrac{7k}{3}\Rightarrow k=0;n=1\)
Vậy n=1
Giả sử phân số chưa tối giản
=> 18n + 3 và 21n + 7 có ước chung là số nguyên tố
Gọi số nguyên tố d là ước chung của 18n + 3 và 21n + 7
=> \(\left\{{}\begin{matrix}18n+3⋮d\\21n+7⋮d\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}126n+21⋮d\\126n+42⋮d\end{matrix}\right.\)
=> 21 \(⋮\) d
Do d là số nguyên tố, 21 \(⋮\) d => d = 3; 7
d = 3 => 21n + 7 \(⋮\) 3 => 7 \(⋮\) 3 (vô lí) (loại)
d = 7 => 21n + 7 \(⋮\) 7 => 21n - 3n + 3 \(⋮\) 7
=> 3 - 3n \(⋮\) 7 => 3 - 3n = 7k (k \(\in\) N)
=> 1 - n = \(\dfrac{7k}{3}\) => n = 1 - \(\dfrac{7k}{3}\) => k = 0; n = 1
Vậy n = 1
