2.
Để $10^n-1\vdots 121$ thì trước tiên $10^n-1\vdots 11$ hay $10^n-1\equiv 0\pmod 11$
Mà: $10^n-1\equiv (-1)^n-1\pmod 11$ nên $n$ chẵn.
Đặt $n=2k$ với $k$ tự nhiên.
Ta có:
$10^n-1=10^{2k}-1=100^k-1$
$=99(100^{k-1}+100^{k-2}+...+1)$
Để $10^n-1$ chia hết cho $121=11^2$ thì:
$100^{k-1}+100^{k-2}+...+1\equiv 0\pmod 11$
Mà:
$100^{k-1}+100^{k-2}+...+1\equiv 1+1+...+1\equiv k\pmod 11$
Do đó: $k\equiv 0\pmod 11$
Hay $k=11t$ với $t$ tự nhiên
Vậy $n=22t$ với $t$ là số tự nhiên.
1.
$10^n-1=(10-1)(10^{n-1}+10^{n-2}+...+10+1)$
$=9(10^{n-1}+10^{n-2}+...+10+1)$
Để $10^n-1$ chia hết cho $81$ thì $10^{n-1}+10^{n-2}+...+10+1\equiv 0\pmod 9$
Mà:
$10^{n-1}+10^{n-2}+...+10+1\equiv 1+1+...+1\equiv n\pmod 9$
Do đó, để $10^n-1$ chia hết cho $81$ thì $n\equiv 0\pmod 9$ hay $n\vdots 9$
