Question

tìm m để phương trình sau có duy nhất 1 nghiệm:

\(\sqrt{2x^2+mx}=3-x\)

Answer 1

Lời giải:
PT \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 3\\ 2x^2+mx=(3-x)^2=x^2-6x+9\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 3\\ x^2+(m+6)x-9=0(1)\end{matrix}\right.\)

Với (1):

$\Delta=(m+6)^2+36$ nên PT(1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m$. Để PT ban đầu có duy nhất 1 nghiệm thì PT (1) phải có 1 nghiệm $x_1\leq 3$, nghiệm còn lại $x_2>3$

Điều này xảy ra khi mà :

\((x_1-3)(x_2-3)\leq 0\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2-3(x_1+x_2)+9\leq 0\)

\(\Leftrightarrow -9-3(-m-6)+9\leq 0\Leftrightarrow 3(m+6)\leq 0\Leftrightarrow m\leq -6\)