Lời giải:
PT \(\Leftrightarrow (x-1)(x^2+x+1)+m(x-1)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)(x^2+x+1+m)=0\)
Từ đây ta có thể thấy PT đã có sẵn nghiệm $x=1$. Để PT có 3 nghiệm phân biệt thì PT $x^2+x+1+m=0(*)$ phải có 2 nghiệm phân biệt khác $1$
Điều này xảy ra khi: \(\left\{\begin{matrix} 1^2+1+1+m\neq 0\\ \Delta_{(*)}=1-4(m+1)>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq -3\\ m< \frac{-3}{4}\end{matrix}\right.\)
\(x^3-1+m\left(x-1\right)=0\)(*)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+m\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+x+1+m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x^2+x+1+m=0\end{matrix}\right.\)
Để (*) có 3 nghiệm phân biệt thì \(x^2+x+1+m=0\)(*')phải có 2 nghiệm phân biệt khác \(1\).
Có \(\Delta=1^2-4\cdot\left(m+1\right)=1-4m-4=-3-4m\ge0\)
\(\Leftrightarrow m\le\frac{-3}{4}\)
Xét (*') ta có khi \(x=1\) thì \(pt\Leftrightarrow3+m=0\Leftrightarrow m=-3\)
Vậy để pt có 3 nghiệm phân biệt thì \(\left\{{}\begin{matrix}m\le\frac{-3}{4}\\m\ne-3\end{matrix}\right.\)
