\(\Leftrightarrow2sin^3x-5\left(1-sin^2x\right)-\left(2m-3\right)sinx=4m-7\)
\(\Leftrightarrow2sin^3x+5sin^2x-\left(2m-3\right)sinx-4m+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(sinx+2\right)\left(2sin^2x+sinx-2m+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2sin^2x+sinx-2m+1=0\)
Đặt \(sinx=t\) (\(-1\le t\le1\))
\(\Rightarrow f\left(t\right)=2t^2+t-2m+1=0\) (1)
Từ vòng tròn lượng giác ta thấy để pt đã cho có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài
\(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \(-1< t_1< 0< t_2< 1\)
Dựa vào đồ thị \(y=2t^2+t+1\) ta thấy \(1< 2m< 2\Rightarrow\frac{1}{2}< m< 1\)
//Hoặc biện luận theo tam thức bậc 2 nhưng dài hơn:
- Để (1) có 2 nghiệm trái dấu \(\Leftrightarrow2.\left(-2m+1\right)< 0\Rightarrow m>\frac{1}{2}\) (3)
- Để (1) có 2 nghiệm thỏa mãn \(-1< t_1< t_2< 1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=1-8\left(-2m+1\right)>0\\f\left(-1\right)=2-2m>0\\f\left(1\right)=4-2m>0\\-1< \frac{S}{2}=-\frac{1}{4}< 1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{7}{16}< m< 1\) (4)
Từ (3);(4) \(\Rightarrow\frac{1}{2}< m< 1\)
