điều kiện xác định \(x\le2\)
ta có : \(C=x+\sqrt{2-x}\Leftrightarrow C-x=\sqrt{2-x}\Leftrightarrow C^2-2Cx+x^2=2-x\)
\(\Leftrightarrow x^2-\left(2C-1\right)+C^2-2=0\)
vì phương trình này luôn có nghiệm \(\Rightarrow\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2C-1\right)^2-4\left(C^2-2\right)\ge0\Leftrightarrow4C^2-4C+1-4C^2+8\ge0\)
\(\Leftrightarrow9-4C\ge0\Leftrightarrow C\le\dfrac{9}{4}\)
\(\Rightarrow C_{max}=\dfrac{9}{4}\) khi \(x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{2C-1}{2}=\dfrac{2.\dfrac{9}{4}-1}{2}=\dfrac{7}{4}\)
vậy \(GTLN\) của \(C\) là \(\dfrac{9}{4}\) khi \(x=\dfrac{7}{4}\) .
Đặt \(\sqrt{2-x}=a\ge0\)
\(\Rightarrow C=2-a^2+a=\dfrac{9}{4}-\left(a^2-a+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{9}{4}-\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2\le\dfrac{9}{4}\)
Dâu = xảy ra khi
\(\sqrt{2-x}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{7}{4}\)
. Không cần phải căng thẳng vậy đâu :3
\(C=x+\sqrt{2-x}\)
\(=-\left(2-x\right)+\sqrt{2-x}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{9}{4}\)
\(=-\left(\sqrt{2-x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{9}{4}\le\dfrac{9}{4}\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(\left(\sqrt{2-x}-\dfrac{1}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{7}{4}\)
