Question

Tìm giới hạn của hàm số: \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\)\(\dfrac{\text{​​}\sqrt{1+2x}.\sqrt[3]{1+3x}.\sqrt[4]{1+4x}-1}{x}\)

Answer 1

\(\dfrac{\sqrt{1+2x}\sqrt[3]{1+3x}\sqrt[4]{1+4x}-1}{x}\)

\(=\dfrac{\sqrt[3]{1+3x}\sqrt[4]{1+4x}\left(\sqrt{1+2x}-1\right)}{x}+\dfrac{\sqrt[4]{1+4x}\left(\sqrt[3]{1+3x}-1\right)}{x}+\dfrac{\sqrt[4]{1+4x}+1}{x}\)

Dùng L'Hopital dễ dàng chứng minh với mọi n nguyên dương ta có:

\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[n]{1+nx}-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\left(1+nx\right)^{\dfrac{1}{n}}-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{1}{n}n\left(1+nx\right)^{\dfrac{1-n}{n}}}{1}=\dfrac{n}{n}=1\)

\(\Rightarrow\) giới hạn đã cho bằng \(\sqrt[3]{1+3.0}\sqrt[4]{1+4.0}.1+\sqrt[4]{1+4.0}.1+1=1+1+1=3\)