Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P=\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}\)

Answer 1

Lời giải:
ĐKXĐ: \(x\ge1\). Ta có:

\(P=\sqrt{\left(x-1\right)+2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{\left(x-1\right)-2\sqrt{x-1}+1}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}\)

\(=\left|\sqrt{x-1}+1\right|+\left|\sqrt{x-1}-1\right|\)

\(=|\sqrt{x-1}+1|+|1-\sqrt{x-1}|\)

\(\ge\left|\sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1}\right|=2\)

Vậy GTNN của $P$ là $2$. Dấu "=" xảy ra khi \(\left(\sqrt{x-1}+1\right)\left(1-\sqrt{x-1}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow x\le2\). Kết hợp với ĐKXĐ suy ra $P_{\min}=2$ khi $1\leq x\leq 2$