Câu hỏi của thuthu

Question

Tìm giá trị lớn nhất của

M= $\dfrac{ab^2+b^2\left(b^2-a\right)+1}{a^2b^4+2b^4+a^2+2}$

(Viết kết quả ở dạng phân số đơn giản nhất)

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:
Ta có:

$M=\frac{ab^2+b^2(b^2-a)+1}{a^2b^4+2b^4+a^2+2}=\frac{ab^2+b^4-ab^2+1}{b^4(a^2+2)+(a^2+2)}=\frac{b^4+1}{(b^4+1)(a^2+2)}$

$=\frac{1}{a^2+2}$

Ta thấy $a^2\geq 0, \forall a\in\mathbb{R}\Rightarrow a^2+2\geq 2\Rightarrow \frac{1}{a^2+2}\leq \frac{1}{2}$

Hay $M\leq \frac{1}{2}$. Vậy $M_{\max}=\frac{1}{2}$Câu trả lời: Lời giải:
Ta có:

$M=\frac{ab^2+b^2(b^2-a)+1}{a^2b^4+2b^4+a^2+2}=\frac{ab^2+b^4-ab^2+1}{b^4(a^2+2)+(a^2+2)}=\frac{b^4+1}{(b^4+1)(a^2+2)}$

$=\frac{1}{a^2+2}$

Ta thấy $a^2\geq 0, \forall a\in\mathbb{R}\Rightarrow a^2+2\geq 2\Rightarrow \frac{1}{a^2+2}\leq \frac{1}{2}$

Hay $M\leq \frac{1}{2}$. Vậy $M_{\max}=\frac{1}{2}$

Violympic toán 9