\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-\left(m^2+m+2\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)+m^3+2m=0\)
Đặt \(x+\frac{1}{x}=t\) với \(\left|t\right|\ge2\)
\(\Rightarrow t^2-\left(m^2+m+2\right)t+m^3+2m=0\) (1)
\(\Delta=\left(m^2+m+2\right)^2-4\left(m^3+2m\right)\)
\(=\left(m^2-m\right)^2+\left(2m-1\right)^2+3>0\)
\(\Rightarrow\) (1) luôn có 2 nghiệm pb
Để 2 nghiệm của (1) thỏa mãn: \(-2< t_1< t_2< 2\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(2\right)>0\\f\left(-2\right)>0\\-2< \frac{t_1+t_2}{2}< 2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^3-2m^2>0\\m^3+2m^2+4m+8>0\\-4< m^2+m+2< 4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2\left(m-2\right)>0\\\left(m+2\right)\left(m^2+4\right)>0\\-4< m^2+m+2< 4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>2\\m>-2\\1< m< 2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Không tồn tại m để cả 2 nghiệm của (1) đều thuộc \(\left(-2;2\right)\)
\(\Rightarrow\) Pt đã cho luôn có nghiệm với mọi m
