Hàm liên tục và xác định trên R
\(y=f\left(x\right)=\left[{}\begin{matrix}x^2-4x+3\text{ với }x>3;x< 1\\-x^2+4x-3\text{ với }1< x< 3\end{matrix}\right.\)
- Xét với \(\left[{}\begin{matrix}x>3\\x< 1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f'\left(x\right)=2x-4\) vô nghiệm trên khoảng đã cho
- Với \(1< x< 3\Rightarrow f'\left(x\right)=-2x+4=0\Rightarrow x=2\)
\(f''\left(2\right)=-2< 0\Rightarrow x=2\) là 1 điểm cực đại của hàm số
- Tại \(x=1\)
\(f'\left(1^+\right)=\left(-2x+4\right)_{x=1}=2\)
\(f'\left(1^-\right)=\left(2x-4\right)_{x=1}=-2\ne f'\left(1^+\right)\)
\(\Rightarrow\) Hàm không tồn tại đạo hàm tại \(x=1\) nhưng liên tục và xác định tại \(x=1\)
\(\Rightarrow x=1\) là 1 cực tiểu (đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x=1)
- Tại \(x=3\)
\(f'\left(3^+\right)=\left(2x-4\right)_{x=3}=2\)
\(f'\left(3^-\right)=\left(-2x+4\right)_{x=3}=-2\ne f'\left(3^+\right)\)
\(\Rightarrow\) Hàm liên tục và xác định tại \(x=3\) nhưng ko tồn tại đạo hàm tại đây
\(\Rightarrow x=3\) là điểm cực tiểu
Vậy hàm có 2 điểm cực tiểu \(x=1;x=3\) và 1 điểm cực đại \(x=2\)
