Question

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:

a) \(x^2-6x+2m+5=0\) có hai nghiệm \(x_1\), \(x_2\)thỏa mãn điều kiện \(x_1^2+x_2^2=26\)

b) \(x^2+\left(m-1\right)x-6=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1\), \(x_2\)thỏa mãn điều kiện

\(x_1^2+x^2_2-3x_1x_2=34\)

c) \(x^2-3x-m^2+m+2=0\) có hai nghiệm \(x_1\), \(x_2\)thỏa mãn điều kiện \(x^3_1+x_2^3=9\)

Answer 1

a. x² -6m + 2m + 5 =0 (có a=1 ; b=-6 ; c=2m+5)

Ta có Δ=b² - 4ac ⇒ Δ=26-8m

Để pt có 2 nghiệm thì Δ≥0 ⇒ 26-8m≥0 ⇔ m≤\(\frac{-13}{4}\)

Vì pt có 2 nghiệm nên theo hệ thúc Vi-ét ta có: x_{1 ⁺} x₂ = 6 ; x₁x₂=2m+5

Ta có: x_1² + x_2² = 26 ⇔ x_1² + 2x₁x₂ + x_2² - 2x₁x₂ = 26 ⇔ \(\left(x_1+x_2\right)^2\) - 2x₁x₂ = 26

Thay số: 6² - 2(2m+5) = 26 ⇒ 36 - 4m - 10 = 26 ⇒ 4m = 0 ⇒ m=0.

Vậy với m=0 thì ...........

Answer 2

a/ \(\Delta'=9-\left(2m+5\right)=4-2m\ge0\Rightarrow m\le2\)

Khi đó theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=6\\x_1x_2=2m+5\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2=26\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=26\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-26=0\)

\(\Leftrightarrow6^2-2\left(2m+5\right)-26=0\)

\(\Leftrightarrow-4m=0\)

\(\Rightarrow m=0\) (thỏa mãn)

Answer 3

b/ \(ac=-6< 0\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1-m\\x_1x_2=-6\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2-3x_1x_2=34\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-5x_1x_2=34\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2-34=0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-m\right)^2-5\left(-6\right)-34=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m-3=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=3\end{matrix}\right.\)

Answer 4

c/ \(\Delta=9-4\left(-m^2+m+2\right)=4m^2-4m+1=\left(2m-1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\) phương trình đã cho luôn có nghiệm

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3\\x_1x_2=-m^2+m+2\end{matrix}\right.\)

\(x_1^3+x_2^3=9\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-x_1x_1+x_2^2\right)=9\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-3x_1x_2\right)=9\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\right]=9\)

\(\Leftrightarrow3\left(9-3\left(-m^2+m+2\right)\right)=9\)

\(\Leftrightarrow3m^2-3m=0\)

\(\Leftrightarrow3m\left(m-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=1\end{matrix}\right.\)