Question

\(x^2+4x-m+3=0\) . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \(\left|x_1-x_2\right|\le1\)

Answer 1

\(\Delta'=4-\left(-m+3\right)>0\Leftrightarrow m>-1\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-4\\x_1x_2=-m+3\end{matrix}\right.\)

\(\left|x_1-x_2\right|< 1\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2< 1\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2< 1\)

\(\Leftrightarrow16-4\left(-m+3\right)< 1\)

\(\Leftrightarrow m< -\dfrac{3}{4}\)

Kết hợp điều kiện ban đầu \(\Rightarrow-1< m< -\dfrac{3}{4}\)

Answer 2

\(\Delta'=4-\left(-m+3\right)>0\Leftrightarrow m>-1\)(*)

Theo Vi-ét:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-4\\x_1x_2=3-m\end{matrix}\right.\)

\(\left|x_1-x_2\right|\le1\\ \Rightarrow\left(x_1-x_2\right)^2\le1^2\\ \Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\le1\\ \Rightarrow\left(-4\right)^2-4\left(3-m\right)\le1\\ \Rightarrow16-12+4m\le1\\ \Rightarrow4+4m\le1\\ \Rightarrow4m\le-3\\ \Rightarrow m\le-\dfrac{3}{4}\)

Kết hợp với (*)⇒\(-1< m\le-\dfrac{3}{4}\)