Lời giải:
\(m^4+4n^4=(m^2)^2+(2n^2)^2+2.m^2.2n^2-(2mn)^2\)
\(=(m^2+2n^2)^2-(2mn)^2=(m^2+2n^2-2mn)(m^2+2n^2+2mn)\)
Để $m^4+4n^4$ là số nguyên tố thì nó chỉ có một ước nguyên tố khác $1$.
\(\Rightarrow \) trong 2 thừa số $m^2+2n^2-2mn$ hoặc $m^2+2n^2+2mn$ phải có 1 thừa số bằng $1$, thừa số còn lại là số nguyên tố.
Mà \(m^2+2n^2-2mn\leq m^2+2n^2+2mn\) với mọi $m,n\in\mathbb{N}$ nên \(m^2+2n^2-2mn=1(1)\)
\(\Leftrightarrow (m-n)^2+n^2=1\)
\(\Rightarrow n^2=1-(m-n)^2\leq 1\Rightarrow n\leq 1\). Mà $n\in\mathbb{N}$ nên $n=0$ hoặc $n=1$
Nếu $n=0$, thay vào (1) ta có $m=1$. Khi đó $m^4+4n^4=1$ không phải số nguyên tố.
Nếu $n=1$. Thay vào (1) ta có $(m-1)^2=0$ nên $m=1$. Khi đó $m^4+4n^4=5$ là số nguyên tố (thỏa mãn)
Vậy $m=n=1$
