Với \(n\) lẻ vế trái có thể âm trong khi vế phải luôn dương (ko thỏa mãn)
Vậy n phải chẵn \(\Rightarrow n=2k\) với \(k\in Z^+\)
Khi đó ta cần tìm k lớn nhất sao cho: \(\left(sin^2x\right)^k+\left(cos^2x\right)^k\ge\frac{1}{2k}\)
Áp dụng BĐT: \(a^n+b^n\ge2\left(\frac{a+b}{2}\right)^n\)
\(\Rightarrow\left(sin^2x\right)^k+\left(cos^2x\right)^k\ge2\left(\frac{sin^2x+cos^2x}{2}\right)^k=\frac{1}{2^{k-1}}\)
BĐT đã cho sẽ thỏa mãn với mọi x khi:
\(\frac{1}{2^{k-1}}\ge\frac{1}{2k}\Leftrightarrow2k\ge2^{k-1}\Rightarrow k\ge2^{k-2}\)
Với \(k\le4\) BĐT thỏa mãn
Với \(k>4\), xét hàm \(f\left(k\right)=k-2^{k-2}\Rightarrow f'\left(k\right)=1-2^{k-2}ln2< 0\)
\(\Rightarrow f\left(k\right)\) nghịch biến \(\Rightarrow f\left(k\right)< f\left(4\right)=0\Rightarrow k< 2^{k-2}\) \(\forall k>4\)
Vậy giá trị nguyên dương lớn nhất của k thỏa mãn BDDT là \(k=4\) hay giá trị nguyên dương lớn nhất của n thỏa mãn là \(n=8\)
Tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho : BĐT đúng với mọi số thực x
