Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
:vvv

Rút gọn:

\(\sqrt{1+\dfrac{1}{11^2}+\dfrac{1}{12^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{12^2}+\dfrac{1}{13^2}}+...+1\sqrt{1+\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(n+2\right)^2}}\)

:vvv
10 tháng 10 2021 lúc 10:57

Em xin lỗi, p.số cuối ở số 1 ở ngoài căn ạ, em đánh lộn: 

undefined

ILoveMath
10 tháng 10 2021 lúc 11:01

Áp dụng hằng đẳng thức: \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\) nếu \(a+b+c=0\) là ra

 

Lấp La Lấp Lánh
10 tháng 10 2021 lúc 11:06

ĐK: \(n>0\)

Ta có: \(\left(1+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)^2\)

\(=1+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2}+2\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\)

\(=1+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2}+2.\dfrac{n+1-n-1}{n\left(n+1\right)}\)

\(=1+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2}+0=1+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2}\)

Áp dụng:

\(\sqrt{1+\dfrac{1}{11^2}+\dfrac{1}{12^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{12^2}+\dfrac{1}{13^2}}+...+\sqrt{1+\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(n+2\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\left(1+\dfrac{1}{11}-\dfrac{1}{12}\right)^2}+\sqrt{\left(1+\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{13}\right)^2}+...+\sqrt{\left(1+\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}\right)^2}\)

\(=\left|1+\dfrac{1}{11}-\dfrac{1}{12}\right|+\left|1+\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{13}\right|+...+\left|1+\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}\right|\)

\(=1+\dfrac{1}{11}-\dfrac{1}{12}+1+\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{13}+...+1+\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}\)

\(=\left(n-9\right)+\dfrac{1}{11}-\dfrac{1}{n+2}=n-\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{98}{11}\)

 

 


Các câu hỏi tương tự
nguyen ngoc son
Xem chi tiết
thu dinh
Xem chi tiết
nguyen ngoc son
Xem chi tiết
KYAN Gaming
Xem chi tiết
Tuyết Linh Linh
Xem chi tiết
Tuyết Linh Linh
Xem chi tiết
thu dinh
Xem chi tiết
KYAN Gaming
Xem chi tiết
Đặng Dung
Xem chi tiết