Question

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2=y+\frac{4}{y}\\y^2=x+\frac{4}{x}\end{matrix}\right.\)

Answer 1

bạn thử trừ vế theo vế xem sao

Answer 2

\(\Rightarrow x^2-y^2=y-x+\frac{4\left(x-y\right)}{xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)=\left(x-y\right)\left(\frac{4}{xy}-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\x+y=\frac{4}{xy}-1\end{matrix}\right.\)

- Với \(x=y\Rightarrow x^2=x+\frac{4}{x}\Rightarrow x^3-x^2-4=0\) \(\Rightarrow x=y=2\)

- Với \(x+y=\frac{4}{xy}-1\)

Từ hệ ban đầu ta suy ra \(x;y>0\)

Áp dụng BĐT Cauchy: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2=y+\frac{4}{y}\ge2\sqrt{\frac{4y}{y}}=4\\y^2=x+\frac{4}{x}\ge4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\y\ge2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{4}{xy}\le1\Rightarrow\frac{4}{xy}-1\le0\)

Mà \(x+y>0\Rightarrow\) pt vô nghiệm

Vậy hệ có cặp nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(2;2\right)\)