Question

\(\int\limits^{+\infty}_0x^ne^{-x}dx_{ }\),( n \(\in\)N^+).

tính tích phân trên

Answer 1

\(I_0=\int\limits^{+\infty}_0e^{-x}dx=\lim\limits_{a\rightarrow+\infty}\int\limits^a_0e^{-x}dx=\lim\limits_{a\rightarrow+\infty}\left(-e^{-x}\right)|^a_0=1\)

\(I_1=\int\limits^{+\infty}_0x.e^{-x}dx=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\int\limits^a_0xe^{-x}dx\)

Xét \(\int\limits^a_0xe^{-x}dx\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=x\\dv=e^{-x}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=-e^{-x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\int\limits^a_0xe^{-x}dx=\left(-xe^{-x}-e^{-x}\right)|^a_0=-\frac{a+1}{e^a}+1\Rightarrow I_1=1\)

\(I_n=\lim\limits_{a\rightarrow+\infty}\int\limits^a_0x^ne^{-x}dx\)

Xét \(J_n=\int\limits^a_0x^ne^{-x}dx\)

\(\left\{{}\begin{matrix}u=x^n\\dv=e^{-x}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=nx^{n-1}dx\\v=-e^{-x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow J_n=-x^ne^{-x}|^a_0+n\int\limits^a_0x^{n-1}e^{-x}dx=-\frac{a^n}{e^a}+nJ_{n-1}\)

\(\Rightarrow I_n=\lim\limits_{a\rightarrow+\infty}J_n=n.I_{n-1}=n\left(n-1\right)...1.I_0=n!\)

Vậy \(\int\limits^{+\infty}_0x^ne^{-x}dx=n!\)