Hai thanh kim loại tiết diện đều, đồng chất có cùng chiều dài bằng 20cm và tiết diện nhưng trọng lượng riêng của thanh thứ nhất và thanh thứ hai là d1 = 1,25d2. Hai thanh kim loại được hàn chặt một đầu vào nhau và được treo lên bằng một sợi dây tại chỗ hàn đó. Để làm cho hai thanh kim loại cân bằng người ta có hai cách:
- Cắt một phần thanh thứ nhất và đặt lên chính giữa phần còn lại của thanh đó. Tìm chiều dài phần đã cắt.
- Cắt bỏ một phần thanh thứ nhất. Tìm chiều dài phần bị cắt.
Gọi chiều dài của hai thanh là l, S là tiết diện của mỗi thanh.
a) Hệ thông hai thanh là một đòn bẩy có điểm tựa tại O.
Gọi chiều dài phần bị cắt là l1.
Phân tích các lực tác dụng lên đòn bẩy:
- Trọng lượng \(\overrightarrow{P_1}\) của thanh thứ nhất, do phần thanh bị cắt đã được đặt lên chính giữa phần còn lại nên trọng lực của thanh sẽ có điểm đặt tại trung điểm của phần còn lại của thanh, cánh tay đòn của trọng lực này là \(\dfrac{l-l_1}{2}\)
- Trọng lượng \(\overrightarrow{P_2}\) của thanh thứ hai, điểm đặt tại trung điểm của thanh thứ hai, cánh tay đòn là \(\dfrac{l}{2}\)
Do hai thanh đã cân bằng nên theo điều kiện cân bằng của đòn bẩy ta có:
\(P_1\cdot\dfrac{l-l_1}{2}=P_2\cdot\dfrac{l}{2}\\ \Rightarrow d_1.l.S\dfrac{l-l_1}{2}=d_2.l.S\dfrac{l}{2}\\ \Leftrightarrow1,25d_2\cdot\dfrac{l-l_1}{2}=d_2\cdot\dfrac{l}{2}\\ \Leftrightarrow1,25\cdot\dfrac{l-l_1}{2}=\dfrac{l}{2}\\ \Leftrightarrow l_1=l-2\dfrac{\dfrac{l}{2}}{1,25}\\ =20-2\dfrac{\dfrac{20}{2}}{1,25}=4\left(cm\right)\)
b)
Gọi chiều dài phần bị cắt là l2, trọng lượng của phần bị cắt là P1'
Phân tích các lực tác dụng lên đòn bẩy:
- Trọng lượng của phần còn lại của thanh thứ nhất có độ lớn là P1 - P1', điểm đặt tại trung điểm phần còn lại của thanh thứ nhất, cánh tay đòn là \(\dfrac{l-l_2}{2}\)
- Thanh thứ hai vẫn như phần a.
Do hai thanh đã cân bằng nên theo điều kiện cân bằng của đòn bẩy ta có:
\(\left(P_1-P_1'\right)\cdot\dfrac{l-l_2}{2}=P_2\cdot\dfrac{l}{2}\\ \Rightarrow\left(d_1.S.l-d_1.S.l_2\right)\dfrac{l-l_2}{2}=d_2.l.S\dfrac{l}{2}\\ \Leftrightarrow1,25d_2.S\left(l-l_2\right)\cdot\dfrac{l-l_2}{2}=d_2.l.S\dfrac{l}{2}\\ \Leftrightarrow1,25\left(l-l_2\right)\dfrac{l-l_2}{2}=l\dfrac{l}{2}\\ \Leftrightarrow1,25\dfrac{\left(l-l_2\right)^2}{2}=l\dfrac{l}{2}\\ \Leftrightarrow\left(l-l_2\right)^2=2\dfrac{l\dfrac{l}{2}}{1,25}=2\dfrac{20\dfrac{20}{2}}{1,25}=320\\ \Leftrightarrow l_2=20-\sqrt{320}\approx2,11\left(cm\right)\)
Do l2 > 0
