Gọi \(M\left(x;y\right)\) là điểm biểu diễn z trên mặt phẳng tọa độ
Gọi \(A\left(-2;1\right)\) ; \(B\left(2;3\right)\) ; \(C\left(-1;2\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(4;2\right)\Rightarrow AB=2\sqrt{5}\)
Từ \(\left|z+2-i\right|+\left|z-2-3i\right|=2\sqrt{5}\Leftrightarrow MA+MB=2\sqrt{5}\)
\(\Leftrightarrow MA+MB=AB\Leftrightarrow\) M nằm trên đoạn thẳng AB
\(\left|z+i-2i\right|=MC\) đạt GTNN khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của C lên AB
Phương trình đường thẳng AB:
\(1\left(x+2\right)-2\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x-2y+4=0\)
Phương trình đường thẳng d qua C và vuông góc AB:
\(2\left(x+1\right)+1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow2x+y=0\)
Tọa độ M là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+4=0\\2x+y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(-\dfrac{4}{5};\dfrac{8}{5}\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{MC}=\left(-\dfrac{1}{5};-\dfrac{2}{5}\right)\Rightarrow MC=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)
Đáp án B
