Question

giải thích bằng định nghĩa: lim f(x)=2 khi x->-00 và lim g(x)=3 khi x->-00 .từ các giả thiết dã cho bằng đình ngĩa chứng minh lim (f(x) +g(x))= 5 khi x->-00.

e xin cảm ơn trước ạ

Answer 1

Lời giải:

Theo định nghĩa về giới hạn thì khi \(\lim_{x\to -\infty}f(x)=2; \lim_{x\to -\infty}g(x)=3\) thì \(\lim_{x\to -\infty}[f(x)-2]=0; \lim_{x\to -\infty}[g(x)-3]=0\)

Khi đó, theo định nghĩa về giới hạn 0 thì với mọi số \(\epsilon >0\) ta tìm được tương ứng $n_1,n_2$ sao cho:

\(\left\{\begin{matrix} |f(x)-2|<\frac{\epsilon}{2}\forall n>n_1\\ |g(x)-3|< \frac{\epsilon}{2}\forall n>n_2\end{matrix}\right.\)

Gọi \(n_0=\max (n_1,n_2)\)

\(\Rightarrow |f(x)-2+g(x)-3|< |f(x)-2|+|g(x)-3|< \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon \) \(\forall n>n_0\)

Điều này chứng tỏ \(f(x)-2+g(x)-3=f(x)+g(x)-5\) có giới hạn 0

\(\Rightarrow \lim_{x\to -\infty}[f(x)+g(x)]=5\)