Bài 1:Cho \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{f\left(x\right)-10}{x-1}=5\) ,\(g\left(x\right)=\sqrt{f\left(x\right)+6}-2\sqrt[3]{f\left(x\right)-2}\)
Tính \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}-1\right)g\left(x\right)}\)
Bài 2: Cho \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{2ax^2+30}-bx-5}{x^3-3x+2}=c\left(a;b;c\in R\right)\)
Tính giá trị \(P=a^2+b^2+36c\)
Bài 3: Cho a;b là các số nguyên dương. Biết \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(\sqrt{4x^2+ax}+\sqrt[3]{8x^3+2bx^2+3}\right)=\dfrac{7}{3}\)
Tinh P= a+2b
Bài 4:Cho a,b,c thuộc R với a>0 thỏa mãn
\(c^2+a=2\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{ax^2+bx}-cx\right)=-3\)
Tính P= a+b+5c
Bài 5:
Mấy câu này khó nên mong các bạn giúp mình với. Mai mình phải kiểm tra rồi
Mấy câu này bạn cần giải theo kiểu trắc nghiệm hay tự luận nhỉ?
Làm tự luận thì hơi tốn thời gian đấy (đi thi sẽ không bao giờ đủ thời gian đâu)
Câu 1:
Kiểm tra lại đề, \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{1}{\left(\sqrt[]{x}-1\right)g\left(x\right)}\) hay một trong 2 giới hạn sau: \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt[]{x}-1}{g\left(x\right)}\) hoặc \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{g\left(x\right)}{\sqrt[]{x}-1}\)
Vì đúng như đề của bạn thì \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{1}{\left(\sqrt[]{x}-1\right)g\left(x\right)}=\dfrac{1}{0}=\infty\), cả \(g\left(x\right)\) lẫn \(\sqrt{x}-1\) đều tiến tới 0 khi x dần tới 1
Bài 2:
\(x^3-3x+2=\left(x-1\right)^2\left(x+2\right)\) có nghiệm kép \(x=1\)
Do đó giới hạn \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt[]{2ax^2+30}-bx-5}{x^3-3x+2}\) hữu hạn khi và chỉ khi \(\sqrt{2ax^2+30}-bx-5=0\) (1) cũng có ít nhất nghiệm kép \(x=1\)
Thay \(x=1\) vào (1) ta được:
\(\sqrt{2a+30}=b+5\Rightarrow2a+30=\left(b+5\right)^2\) với \(b\ge-5\)
\(\Leftrightarrow2a=b^2+10b-5\)
Tiếp tục thế lên (1):
\(\Rightarrow\sqrt{\left(b^2+10b-5\right)x^2+30}=bx+5\)
\(\Rightarrow\left(b^2+10b-5\right)x^2+30=b^2x^2+10bx+25\)
\(\Rightarrow\left(2b-1\right)x^2-2bx+1=0\)
\(\Rightarrow2bx\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(2bx-x-1\right)=0\) (2)
Để (2) có nghiệm kép \(x=1\Rightarrow2bx-x-1=0\) phải có nghiệm \(x=1\)
\(\Rightarrow2b-2=0\Rightarrow b=1\Rightarrow a=\dfrac{b^2+10b-5}{2}=3\)
Khi đó:
\(c=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt[]{6x^2+30}-x-5}{x^3-3x+2}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{5\left(x-1\right)^2}{\left(x-1\right)^2\left(x+2\right)\left(\sqrt[]{6x^2+30}+x+5\right)}=\dfrac{5}{36}\)
3.
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(\sqrt{4x^2+ax}+2x+\sqrt[3]{8x^3+2bx^2+3}-2x\right)\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(\dfrac{ax}{\sqrt{4x^2+ax}-2x}+\dfrac{2bx^2+3}{\sqrt[3]{\left(8x^3+2bx^2+3\right)^2}+2x\sqrt[3]{8x^3+2bx^2+3}+4x^2}\right)\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(\dfrac{a}{-\sqrt{4+\dfrac{a}{x}}-2}+\dfrac{2b+\dfrac{3}{x^2}}{\sqrt[3]{\left(8+\dfrac{2b}{x}+\dfrac{3}{x^3}\right)^2}+2\sqrt[3]{8+\dfrac{2b}{x}+\dfrac{3}{x^3}}+4}\right)\)
\(=-\dfrac{a}{4}+\dfrac{b}{6}=\dfrac{7}{3}\)
\(\Leftrightarrow-3a+2b=28\)
Đề bài không chính xác, tới đây có vô số bộ nguyên dương (a;b) thỏa mãn, ví dụ \(\left(a;b\right)=\left(2;17\right);\left(4;20\right);\left(6;23\right)\) vân vân đều thỏa mãn giả thiết (bạn có thể kiểm tra lại điều này dễ dàng bằng casio)
Do đó có vô số giá trị P
4.
Nếu \(c\le0\Rightarrow\) giới hạn đã cho trở thành:
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x\left(\sqrt{a+\dfrac{b}{x}}-c\right)=+\infty.\left(a-c\right)=+\infty\) (ko thỏa mãn là giá trị hữu hạn)
\(\Rightarrow c>0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{ax^2+bx}-cx\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\left(a-c^2\right)x^2+bx}{\sqrt{ax^2+bx}+cx}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\left(a-c^2\right)x+b}{\sqrt{a+\dfrac{b}{x}}+c}\) (1)
Nếu \(a-c^2\ne0\Rightarrow\) giới hạn đã cho bằng vô cực (ktm)
\(\Rightarrow a-c^2=0\) , kết hợp \(a+c^2=2\Rightarrow a=c=1\)
Thế vào (1):
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{b}{\sqrt{1}+1}=-3\Rightarrow b=-6\)
47.
Hàm số liên tục tại \(x=\dfrac{1}{2}\) khi và chỉ khi:
\(\lim\limits_{x\rightarrow\dfrac{1}{2}}f\left(x\right)=f\left(\dfrac{1}{2}\right)\Leftrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow\dfrac{1}{2}}\dfrac{\sqrt{ax^2+1}-bx-2}{4x^3-3x+1}=\dfrac{c}{2}\) hữu hạn
Mà \(4x^3-3x+1=\left(x+1\right)\left(2x-1\right)^2\) có nghiệm kép \(x=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{ax^2+1}-bx-2\) cũng có ít nhất nghiệm kép \(x=\dfrac{1}{2}\)
Lặp lại quy trình tính như câu 2:
Thay \(x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a}{4}+1}=\dfrac{b}{2}+2\Rightarrow a=b^2+8b+12\)
\(\sqrt{\left(b^2+8b+12\right)x^2+1}=bx+2\) có nghiệm kép \(x=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\left(b^2+8b+12\right)x^2+1=b^2x^2+4bx+4\)
\(\Rightarrow8bx^2-4bx+12x^2-3=0\)
\(\Rightarrow\left(2x-1\right)\left(4bx+6x+3\right)=0\)
\(\Rightarrow4bx+6x+3=0\) có nghiệm \(x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow b=-3\)
\(\Rightarrow a=-3\)
\(c=2.\left(\lim\limits_{x\rightarrow\dfrac{1}{2}}\dfrac{\sqrt{-3x^2+1}+3x-2}{4x^3-3x+1}\right)=-4\)
49.
Câu này chúng ta không nên liên hợp 1 chút xíu nào, hãy sử dụng L'Hopital:
\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x^{2020}+x-2}{\sqrt{2021x+1}-\sqrt{x+2021}}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{2020x^{2019}+1}{\dfrac{2021}{2\sqrt{2021x+1}}-\dfrac{1}{2\sqrt{x+2021}}}\)
\(=\dfrac{2021}{\dfrac{2021}{2\sqrt{2022}}-\dfrac{1}{2\sqrt{2022}}}=\dfrac{2021\sqrt{2022}}{1010}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=2021\\n=2022\end{matrix}\right.\)
Vậy nếu câu 1 em sửa lại đề bài thành tính \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{g\left(x\right)}{\sqrt{x}-1}\) thì làm như thế nào ạ
