Question

Giải hpt:\(\left\{{}\begin{matrix}3y=\frac{y^2+2}{x^2}\\3x=\frac{x^2+2}{y^2}\end{matrix}\right.\)

Help me!!!

Answer 1

ĐK: x, y \(\ne0\)

Lấy pt dưới trừ pt trên:

\(3\left(x-y\right)=\frac{x^4+2x^2-y^4-2y^2}{x^2y^2}\)

\(\Leftrightarrow3x^2y^2\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left[\left(x+y\right)\left(x^2+y^2+2\right)-3x^2y^2\right]=0\)

Cái ngoặc nhỏ dễ làm rồi, còn cái ngoặc to đánh giá kiểu gì nhỉ?

Answer 2

CM được \(x,y>0\)

Hệ pt đã cho <=> \(\left\{{}\begin{matrix}3x^2y=y^2+2\\3xy^2=x^2+2\end{matrix}\right.\)

=>\(3x^2y-3xy^2=y^2-x^2\)

<=>\(3xy\left(x-y\right)-y^2+x^2=0\)

<=> \(3xy\left(x-y\right)+\left(x+y\right)\left(x-y\right)=0\)

<=> \(\left(3xy+x+y\right)\left(x-y\right)=0\)

=> \(\left[{}\begin{matrix}x=y\\3xy+x+y=0\end{matrix}\right.\)

Do x,y>0 => 3xy+x+y>0 => pt 3xy+x+y vô nghiệm

=>x=y

Thay x=y vào pt đầu có:

\(3y=\frac{y^2+2}{y^2}=1+\frac{2}{y^2}\)

<=> \(3y-1=\frac{2}{y^2}\)

<=> \(3y^3-y^2-2=0\)

<=> \(\left(y-1\right)\left(3y^2+2y+2\right)=0\) (1)

Hiển nhiên CM được \(3y^2+2y+2>0\)

(1)<=> y=1 =>x=y=1(t/m)

Vậy x=y=1