Điều kiện: \(y\ne0\); \(x+\frac{1}{y}\)\(\ge0\); \(x+y\ge3\).Đặt: \(a=\sqrt{x+\frac{1}{y}}\) ; \(b=\sqrt{x+y-3}\) \((a,b\ge0)\)Ta có: \(2x+y+\frac{1}{y}=8\)\(\ \Leftrightarrow\) \(\left(x+\frac{1}{y}\right)+\left(x+y-3\right)=5\) \(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2=5\)\(^{ }\)Hệ phương trình \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}a+b=3\\a^2+b^2=5\end{cases}\)\(\ \Leftrightarrow\)\(\begin{cases}a=3-b\\\left(3-b\right)^2+b^2=5\ \left(1\right)\end{cases}\) \(\left(1\right)\Leftrightarrow\) \(b^2-6b+9+b^2=5\) \(\Leftrightarrow\) \(2b^2-6b+4=0\) \(\Leftrightarrow\) \(\Delta'=\left(-3\right)^2-2.4=1>0\) \(\Rightarrow\ \left(1\right)\) có hai nghiệm phân biệt: \(b_1=\frac{3+\sqrt{1}}{2}=2\) ; \(b_2=\frac{3-\sqrt{1}}{2}=1\) *Với \(b=2\) \(\Rightarrow\ a=3-b=3-2=1\)Ta có: \(\begin{cases}\sqrt{x+y-3}=2\\\sqrt{x+\frac{1}{y}}=1\ \end{cases}\)\(\ \) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x+y-3=4\\x+\frac{1}{y}=1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x+y=7\\x+\frac{1}{y}=1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}y-\frac{1}{y}=6\\x+y=7\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}y^2-6y-1=0\\x+y=7\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}\left[\begin{matrix}y=3+\sqrt{10}\\y=3-\sqrt{10}\end{matrix}\right.\\x=7-y\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[\begin{matrix}\begin{cases}y=3+\sqrt{10}\\x=4-\sqrt{10}\end{cases}\\\begin{cases}y=3-\sqrt{10}\\x=4+\sqrt{10}\end{cases}\end{matrix}\right.\) *Với \(b=1\ \Rightarrow\ a=3-b=3-1=2\)Ta có: \(\begin{cases}\sqrt{x+y-3}=1\\\sqrt{x+\frac{1}{y}}=2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x+y=4\\x+\frac{1}{y}=4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}y-\frac{1}{y}=0\\x+y=4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}y^2-1=0\\x+y=4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}\left[\begin{matrix}y=1\\y=-1\end{matrix}\right.\\x=4-y\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[\begin{matrix}\begin{cases}y=1\\x=3\end{cases}\\\begin{cases}y=-1\\x=5\end{cases}\end{matrix}\right.\)
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