Chương III - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Mai

Giải hệ phương trình: \(\hept{\begin{cases}x^2\left(y+1\right)=y\\y^2\left(z+1\right)=z\\z^2\left(x+1\right)=x\end{cases}}\)

Nguyễn Việt Lâm
7 tháng 5 2020 lúc 23:42

\(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right)\) là 1 nghiệm (nếu 1 nghiệm =0 thì 2 nghiệm còn lại cũng =0)

Với \(x;y;z\ne0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x^2}=\frac{1}{y}+1\\\frac{1}{y^2}=\frac{1}{z}+1\\\frac{1}{z^2}=\frac{1}{x}+1\end{matrix}\right.\) đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=b+1\\b^2=c+1\\c^2=a+1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a;b;c\ge-1\)

- Nếu \(a>0\Rightarrow c^2>1\Rightarrow c>1\Rightarrow b^2>2\Rightarrow b>1\) \(\Rightarrow a;b;c>0\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a=max\left\{a;b;c\right\}\)

\(\Rightarrow a+1\ge b+1\Rightarrow c^2\ge a^2\Rightarrow c\ge a\Rightarrow c=a\)

\(\Rightarrow a+1=b+1\Rightarrow a=b\)

\(\Rightarrow a=b=c\Rightarrow a^2=a+1\Rightarrow a^2-a-1=0\)

\(\Rightarrow a=b=c=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)

- Tương tự nếu \(-1\le a\le0\Rightarrow-1\le a;b;c\le0\)

Giả sử \(a=max\left\{a;b;c\right\}\Rightarrow a^2\le c^2\Rightarrow a+1\le b+1\Rightarrow a=b\)

\(\Rightarrow b+1=c+1\Rightarrow b=c\Rightarrow a=b=c\)

\(\Rightarrow a^2=a+1\Rightarrow a^2-a-1=0\Rightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)

\(\Rightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\)

Vậy nghiệm của hệ là \(x=y=z=\frac{\sqrt{5}\pm1}{2}\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Võ Thảo VY
Xem chi tiết
Nguyễn Mai
Xem chi tiết
oOo Min min oOo
Xem chi tiết
oOo Min min oOo
Xem chi tiết
Nguyễn Võ Thảo VY
Xem chi tiết
SHIZUKA
Xem chi tiết
Vũ Huyền
Xem chi tiết
KurokoTetsuya
Xem chi tiết
Oriana.su
Xem chi tiết