Question

Giải các phương trình sau :

a) \(2\cos^2x-3\cos x+1=0\)

b) \(25\sin^2x+15\sin2x+9\cos^2x=25\)

c) \(2\sin x+\cos x=1\)

d) \(\sin x+1,5\cot x=0\)

Answer 1

a) 2cos²x - 3cosx + 1 = 0 (1)

Đặt : t = cosx với điều kiện -1 \(\le t\le1\)

(1)\(\Leftrightarrow\) 2t² - 3t + 1= 0

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=1\\cosx=\dfrac{1}{2}=cosx\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\left(k\in Z\right)}\)

Answer 2

a) Đkxđ: D = R
Đặt \(cosx=t;\left|t\right|\le1\). Phương trình trở thành:m\(2t^2-3t+1=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\left(tm\right)\\t=\dfrac{1}{2}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\).
Với \(t=1\) ta có \(cosx=1\)\(\Leftrightarrow x=k2\pi\).
Với \(t=\dfrac{1}{2}\) ta có \(cosx=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\x=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\).
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm là:
- \(x=k2\pi\);
- \(x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\);
- \(x=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\).

Answer 3

b) \(25sin^2x+12sin2x+9cos^2x=25\)
\(\Leftrightarrow25\left(sin^2-1\right)+30sinxcosx+9cos^2x=0\)
\(\Leftrightarrow-25cos^2x+30sinxcosx+9cos^2x=0\)
\(\Leftrightarrow-16cos^2x+30sinxcosx=0\)
\(\Leftrightarrow cosx\left(-16cosx+30sinx\right)=0\).
- Th1: \(cosx=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\).
- Th2: \(-16cosx+30sinx=0\Leftrightarrow\dfrac{sinx}{cosx}=\dfrac{-8}{15}\)
\(\Leftrightarrow tanx=\dfrac{-8}{15}\)\(\Leftrightarrow x=arctan\left(\dfrac{-8}{15}\right)+k\pi\).

Answer 4

c) \(2sinx+cosx=1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{\sqrt{5}}sinx+\dfrac{1}{\sqrt{5}}cosx=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\Leftrightarrow cos\alpha sinx+sin\alpha cosx=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\) ( với \(\alpha\) xác định sao cho \(\left\{{}\begin{matrix}cos\alpha=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\\sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\end{matrix}\right.\) )
\(\Leftrightarrow sin\left(x+\alpha\right)=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+\alpha=arcsin\dfrac{1}{\sqrt{5}}+k2\pi\\x+\alpha=\pi-arcsin\dfrac{1}{\sqrt{5}}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\alpha+arcsin\dfrac{1}{\sqrt{5}}+k2\pi\\x=\pi-\alpha-arcsin\dfrac{1}{\sqrt{5}}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

Answer 5

d) \(sinx+1,5cotx=0\)
Đkxđ: \(sinx\ne0\Leftrightarrow x\ne k\pi\).
\(sinx+1,5cotx=0\)\(\Leftrightarrow sinx+\dfrac{1,5cosx}{sinx}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{sin^2x+1,5cosx}{sinx}=0\)
\(\Leftrightarrow sin^2x+1,5cosx=0\)
\(\Leftrightarrow1-cos^2x+1,5cosx=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=-\dfrac{1}{2}\left(tm\right)\\cosx=2\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
Với \(cosx=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi\\x=-\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\).
Dễ thấy với \(cosx=-\dfrac{1}{2}\) thì \(sinx\ne0\) nên các họ nghiệm đều thỏa mãn điều kiện của phương trình.