Câu hỏi của Thiên Yết

Question

Giải các phương trình sau :

1, $3x+\sqrt{10-9x^2}=5-x\sqrt{10-9x^2}$

2,$\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{2-x^2}}=2$

3, $\left(2x-1\right).\left(x+3\right)-\left(x+3\right)\sqrt{\frac{2x-1}{x-3}}=2$

Hồng Phúc · Accepted Answer

b, ĐKXĐ: $-2< x< 2;x\ne0$

$pt\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2-x^2}+\frac{2}{x\sqrt{2-x^2}}=4$

Áp dụng BĐT $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}$ và BĐT $ab\le\frac{a^2+b^2}{2}$:

$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2-x^2}+\frac{2}{x\sqrt{2-x^2}}\ge\frac{4}{x^2+2-x^2}+\frac{2}{\frac{x^2+2-x^2}{2}}=4$

Đẳng thưc xảy ra khi $x^2=2-x^2\Leftrightarrow x=\pm1$

Thử lại ta được ...Câu trả lời: b, ĐKXĐ: $-2< x< 2;x\ne0$

$pt\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2-x^2}+\frac{2}{x\sqrt{2-x^2}}=4$

Áp dụng BĐT $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}$ và BĐT $ab\le\frac{a^2+b^2}{2}$:

$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2-x^2}+\frac{2}{x\sqrt{2-x^2}}\ge\frac{4}{x^2+2-x^2}+\frac{2}{\frac{x^2+2-x^2}{2}}=4$

Đẳng thưc xảy ra khi $x^2=2-x^2\Leftrightarrow x=\pm1$

Thử lại ta được ...

Hồng Phúc · Answer

a, ĐKXĐ: $-\frac{\sqrt{10}}{3}\le x\le\frac{\sqrt{10}}{3}$

$t=3x+\sqrt{10-9x^2}\Rightarrow t^2=10+6x\sqrt{10-9x^2}\Rightarrow x\sqrt{10-9x^2}=\frac{t^2-10}{6}$

$\Rightarrow t=5-\frac{t^2-10}{6}$

$\Leftrightarrow t^2+6t-40=0$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=4\t=-10\end{matrix}\right.$

TH1: $t=4\Leftrightarrow3x+\sqrt{10-9x^2}=4$

$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10-9x^2=\left(4-3x\right)^2\4-3x\ge0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\x=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.$

TH2: $t=-10\Leftrightarrow3x+\sqrt{10-9x^2}=-10$

$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10-9x^2=\left(-10-3x\right)^2\-10-3x\ge0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}9x^2+60x+100=0\x\le-\frac{10}{3}\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ vô nghiệm

Thử lại ta được các nghiệm ...Câu trả lời: a, ĐKXĐ: $-\frac{\sqrt{10}}{3}\le x\le\frac{\sqrt{10}}{3}$