Question

Giải bất phương trình:

\(C_{n+2}^{n-1}\) + \(C_{n+2}^n\) > \(\frac{5}{2}\)\(A_n^2\)

Answer 1

Giải:

Điều kiện là n\(\ge\)2, n\(\in\)Z

Ta có 

(1) \(\Leftrightarrow\)\(\frac{\left(n+2\right)!}{\left(n-1\right)!3!}\)+\(\frac{\left(n+2\right)!}{n!2!}\)>\(\frac{5}{2}\)\(\frac{n!}{\left(n-2\right)!}\)

     \(\Leftrightarrow\)\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}\)+\(\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}\)>\(\frac{5\left(n-1\right)n}{2}\)

     \(\Leftrightarrow\)n(n²+3n+2) + 3(n²+3n+2) > 15(n²-n)

     \(\Leftrightarrow\)n³-9n²+26n+6>0

     \(\Leftrightarrow\)n(n²-9n+26)+6>0                (1)

Xét tam thứ bậc hai n²-9n+26, ta thấy \(\Delta\)=81-104<0

Vậy n²-9n+26>0  với mọi n. Từ đó suy ra với mọi n\(\ge\)2 thì (1) luôn luôn đúng. Tóm lại mọi số nguyên n\(\ge\)2 đều là nghiệm của (1).