Điều kiện để phương trình (1) trên có nghĩa là:
\(\begin{cases}x\ge y+1\\y-1\ge\\x,y\in Z\end{cases}0}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}y\ge1\\x\ge\\x,y\in Z\end{cases}y+1}\)(2)
Từ phương trình (1) ta có
\(\frac{C_x^{y+1}}{C_x^{y-1}}\) = \(\frac{5}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{x!\left(y-1\right)!\left(x-y+1\right)!}{\left(y+1\right)!\left(x-y-1\right)!x!}\) = \(\frac{5}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{\left(x-y\right)\left(x-y+1\right)}{y\left(y+1\right)}\) = \(\frac{5}{2}\) (3)
Vẫn từ (1) ta có
\(\frac{C_{x+1}^y}{C_x^{y+1}}\) = \(\frac{6}{5}\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{\left(x+1\right)!\left(y+1\right)!\left(x-y+1\right)!}{y!\left(x+1-y\right)!x!}\) = \(\frac{6}{5}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}{\left(x-y\right)\left(x-y+1\right)}\) = \(\frac{6}{5}\) (4)
Nhân từng vế (3), (4) ta có
\(\frac{x+1}{y}\) = 3 \(\Leftrightarrow\) x+1 = 3y (5)
Thay (5) vào (4) đi đến
\(\frac{3y\left(y+1\right)}{\left(2y-1\right)2y}\) = \(\frac{6}{5}\) \(\Leftrightarrow\) 15(y+1) = 12(2y-1)
\(\Leftrightarrow\) 9y = 27 \(\Leftrightarrow\) y=3 (6)
Từ (5), (6) có x=8
Vậy x=8, y=3 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)
