\(\Delta=a^2-4b=a^2-4\left(2008-a\right)=a^2+4a-8032\)
Để pt có nghiệm nguyên \(\Rightarrow\Delta\) là số chính phương
\(\Rightarrow a^2+4a-8032=k^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+2\right)^2-8036=k^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+2-k\right)\left(a+2+k\right)=8036\)
Mặt khác do \(\left(a+2-k\right)+\left(a+2+k\right)=2\left(a+2\right)\) chẵn nên ta chỉ cần xét các cặp ước cùng tính chẵn lẻ của 8036 là \(\left(4018;2\right);\left(2;4018\right);\left(-2;-4018\right);\left(-4018;-2\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}a+2-k=4018\\a+2+k=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=2008\Rightarrow x^2+2008x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-2008\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}a+2-k=2\\a+2+k=4018\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=2008\) giổng TH trên
\(\left\{{}\begin{matrix}a+2-k=-2\\a+2+k=-4018\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=-2012\Rightarrow x^2-2012x+4020=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=2010\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}a+2-k=-4018\\a+2+k=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=-2012\) giống TH trên
Vậy nghiệm nguyên của pt là \(x=\left\{0;2;2008;2010\right\}\)
