Lời giải:
Đa thức $(x+1)(x^2+1)$ có bậc 3 nên đương nhiên dư sẽ có bậc nhỏ hơn $3$
Đặt $f(x)=(x+1)(x^2+1)Q(x)+ax^2+bx+c$ $(a,b,c\in\mathbb{R}$)
Trong đó: $Q(x)$ và $ax^2+bx+c$ lần lượt là đa thức dương và đa thức dư khi chia $f(x)$ cho $(x+1)(x^2+1)$
Theo bài ra ta có:
$f(-1)=a-b+c=4(1)$
$f(x)=(x+1)(x^2+1)Q(x)+a(x^2+1)+bx+c-a$ nên $f(x)$ chia $x^2+1$ dư $bx+c-a$
$\Rightarrow bx+c-a=2x+3$ với mọi $x$
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b=2\\ c-a=3\end{matrix}\right.(2)\)
Từ $(1);(2)\Rightarrow a=\frac{3}{2}; b=2; c=\frac{9}{2}$
Vậy phần dư là $\frac{3}{2}x^2+2x+\frac{9}{2}$
theo định lí bơ- zu ta có: f(x) : x+1 dư 4 =>f(-1)=4
do bậc của đa thức chia (x+1)(x^2+1) là 3
nên bậc đa thức dư có dang ax^2 +bx+c
theo đinh nghĩa phep chia có dư ta có:
f(x)= (x+1)(x^2 +1)q(x) + ax^2 +bx+c
=(x+1)(x^2 +1)q(x) + ax^2 +a -a +bx+c
=(x+1)(x^2 +1)q(x) + a(x^2 +1) -a +bx+c
= [(x+1)q(x) + a](x^2 +1) +bx+c- a
mà f(x) : x^2+1 dư 2x+3 nên b=2 và c-a = 3(1)
f(-1)=4 =>a -b+ c=4(2)
từ (1)(2) ta có:
{b=2
{c- a =3
{a -b+ c =4
<=>{b=2
------{c -a =3
------{a+c =6
<=>{a= 3/2
------{b=2
------{c=9/2
vậy đa thức dư là :3/2x^2 +2x +9/2
