Question

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m nhỏ hơn 10 để bpt \(\sqrt{-x^{2^{ }}+2x+3}\)\(\le\) x² - 2x+ m có nghiệm thuộc đoạn [0;2]

Answer 1

Lời giải:

$\sqrt{-x^2+2x+3}\leq x^2-2x+m$

$\Leftrightarrow \sqrt{-x^2+2x+3}-x^2+2x\leq m$

Đặt $f(x)=\sqrt{-x^2+2x+3}-x^2+2x$

$f'(x)=\frac{-x+1}{\sqrt{-x^2+2x+3}}-2x+2=0\Leftrightarrow x=1$

Lập bảng biến thiên với các điểm $x=0; x=1; x=2$

$f(0)=\sqrt{3}; f(1)=\sqrt{3}; f(2)=\sqrt{3}$

Từ BBT ta thấy để BPT $f(x)\leq m$ có nghiệm thuộc đoạn $[0;2]$ thì $m\geq \sqrt{3}$

Mà $m< 10$ và $m$ nguyên dương nên $m\in\left\{4;5;6;7;8;9\right\}$

Tức là có 6 giá trị $m$ thỏa mãn.